Jordan–Wigner 变换可用于将自旋算符映射到费米子的产生和湮灭算符。一维晶格模型由 Pascual Jordan 与 Eugene Wigner 提出,当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符,继而在费米子基矢中作对角化,Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链,例如伊辛模型和 XY 模型。
此变换证明一维空间至少在有些情况下, 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。
接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.
将自旋-1/2泡利算符作用到1D链的上的第j个晶座,
. 选取 反对易算符
and
, 可以发现
, 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试,
![{\displaystyle \sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}^{\dagger }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406e44d3da3f97a36f352092bc49cc4adae2bcd8)
![{\displaystyle \sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a374f7c59d04c58912d643458f31a42e2a1f3704)
![{\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a52dc0d69b467236d2ff57f2901cadb77118c9e)
这样,可以得到同晶格上费米子关系
, 但对不同的晶格,有关系
, 其中
, 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。
能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出[1]。此为 Klein 变换的特殊情况。考虑费米子链,定义一组新算符
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}^{\dagger }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acec73f417abe5fbeacfa690e1243536d08d2811)
![{\displaystyle a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c25e936d04d02029873976a7860a6118a3ea78)
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}=f_{j}^{\dagger }f_{j}-{\frac {1}{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478275075ee2b843d4a97028f37ab12ce7219ba3)
与之前的定义相差一个相
。此相与场模
下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶,此相等于
; 占有模数为奇,相为
。表示为
![{\displaystyle e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}(1-2f_{k}^{\dagger }f_{k}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7269fbbce03e9d88b9b2a274fa4abb97c67a4189)
最后一个等式使用了
这样,变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系
![{\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\{a_{i},a_{j}\}=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625a6ebed7fbaff285ae3c7fba412776401df278)
逆变换为
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{+}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddc1c7d48b73f435acd5b0a1ee1b22ce0a91c16)
![{\displaystyle a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{-}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb7a7d43f5e7771826868c8505d371c8d6209e1)
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}=\sigma _{j}^{z}+{\frac {1}{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052df727143a68a1f792671458fe6384670f1b1f)
P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.