哈密頓-雅可比方程式
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在物理學裏,哈密頓-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation,HJE) 是經典力學的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學,這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恆的物理量方面,特別有用處。有時候,雖然物理問題的本身無法完全解析,哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。
HJE 是经典哈密顿量一个正则变换,经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程,方程式之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程,每个变量对应于一个坐标,而哈密顿方程是一个一阶线性方程组,每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题,例如开普勒问题。
HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此,HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標(早至 18 世紀,約翰·白努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代);那就是,尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式與薛丁格方程式很相似;但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。