周期点

在数学中，特别是在迭代函数和动态系统领域，周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。

迭代函数

设${\displaystyle f}$是集合${\displaystyle X}$上的自同态函数

${\displaystyle f:X\to X}$

若存在${\displaystyle n}$，使得

${\displaystyle \ f^{n}(x)=x}$

则${\displaystyle x}$是周期为${\displaystyle n}$的周期点。这里，${\displaystyle \ f^{n}}$是${\displaystyle f}$的${\displaystyle n}$次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。

设${\displaystyle p}$是函数${\displaystyle f(x)}$的以${\displaystyle n}$为周期的周期点，若

${\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|\neq 1}$

则${\displaystyle p}$是双曲周期点。若

${\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|<1}$

则称周期点p为吸引子；若

${\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|>1}$

则称周期点p为排斥子。

若该周期点的稳定流形的维数为0，则称其为源点；若不稳定流形的维数为0，则称其为汇点；若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0，则称其为鞍点。

动态系统

给定一个连续时间动态系统${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi )}$，其中${\displaystyle X}$是相空间，${\displaystyle \Phi }$是状态转移函数，

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$

若存在${\displaystyle t>=0}$，${\displaystyle x\in X}$，使得

${\displaystyle \Phi (t,x)=x\,}$

则${\displaystyle x}$被称为以${\displaystyle t}$为周期的周期点，使上式成立的最小正数${\displaystyle t}$被称为最小周期。

性质

设${\displaystyle x}$是以${\displaystyle t}$为周期的周期点，则对于任意实数${\displaystyle s}$，${\displaystyle \Phi (s,x)=\Phi (s+t,x)\,}$都成立。 设轨迹${\displaystyle \gamma _{x}}$经过周期点${\displaystyle x}$，则该轨迹上的所有点均为周期点，且最小周期与${\displaystyle x}$的最小周期相等。

参见

• 极限环
• 极限集合
• 稳定集合
• 沙可夫斯基定理（英语：Sharkovskii's theorem）
• 驻点
• 不动点