雙球坐標系 (英語:Bispherical coordinates )是一種三維正交坐標系 。設定二維雙極坐標系 包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏,坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後,圓圈變成一個環面,而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈,稱為環心圓 。稱環心圓至環面的距離為環小半徑 。
基本定義
圖 1 )雙球坐標系的幾個坐標曲面 。紅色環面的
σ
=
45
∘
{\displaystyle \sigma =45^{\circ }}
。藍色圓球面的
τ
=
0.5
{\displaystyle \tau =0.5}
。黃色半平面的
ϕ
=
60
∘
{\displaystyle \phi =60^{\circ }}
。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標 大約為
(
0.841
,
−
1.456
,
1.239
)
{\displaystyle (0.841,\ -1.456,\ 1.239)}
。
圖 2 )雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面(
σ
{\displaystyle \sigma }
-坐標曲面),而藍色圓圈則變成藍色圓球面(
τ
{\displaystyle \tau }
-坐標曲面)。
在三維空間裏,一個點 P 的雙球坐標
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
最常見的定義是
x
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
cos
ϕ
{\displaystyle x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }
、
y
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
sin
ϕ
{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }
、
z
=
a
sinh
τ
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
;
其中,
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
是直角坐標 ,
σ
{\displaystyle \sigma }
坐標是
∠
F
1
P
F
2
{\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}
的弧度 ,
τ
{\displaystyle \tau }
坐標是點 P 離兩個焦點的距離
d
1
{\displaystyle d_{1}}
與
d
2
{\displaystyle d_{2}}
的比例的自然對數 :
τ
=
ln
d
1
d
2
{\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
。
坐標曲面
每一個紅色的
σ
{\displaystyle \sigma }
-坐標曲面 都是包含了兩個焦點
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
環面。,每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為
z
2
+
(
x
2
+
y
2
−
a
cot
σ
)
2
=
a
2
sin
2
σ
{\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}
。
當絕對值
|
σ
|
{\displaystyle \left|\sigma \right|}
增加時,環小半徑會減小,環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時,
|
σ
|
{\displaystyle \left|\sigma \right|}
達到最大值
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
。
每一個藍色的
τ
{\displaystyle \tau }
-坐標曲面 都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點;圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為
x
2
+
y
2
+
(
z
−
a
coth
τ
)
2
=
a
2
sinh
2
τ
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}
。
它們的圓球心都包含於 z-軸。正值
τ
{\displaystyle \tau }
的圓球面在
z
>
0
{\displaystyle z>0}
半空間;而負值
τ
{\displaystyle \tau }
的圓球面在
z
<
0
{\displaystyle z<0}
半空間。
τ
=
0
{\displaystyle \tau =0}
曲線則與 xy-平面同平面。當
τ
{\displaystyle \tau }
值增加時,圓球面的半徑會減少,圓球心會靠近焦點。
逆變換
圖 3 )點 P 的坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
與
τ
{\displaystyle \tau }
的幾何意義。在一個方位角
ϕ
{\displaystyle \phi }
為常數的平面裏,雙球坐標系變成雙極坐標系。
σ
{\displaystyle \sigma }
是角
∠
F
1
P
F
2
{\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}
的弧度。
τ
{\displaystyle \tau }
是點 P 離兩個焦點的距離
d
1
{\displaystyle d_{1}}
與
d
2
{\displaystyle d_{2}}
的比例的自然對數 。
σ
{\displaystyle \sigma }
與
τ
{\displaystyle \tau }
的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(表示在洋紅色的方盒裏)。
雙球坐標
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
可以用直角坐標
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
來表示。方位角
ϕ
{\displaystyle \phi }
的公式為
tan
ϕ
=
y
x
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}
。
點 P 與兩個焦點之間的距離是
d
1
2
=
x
2
+
y
2
+
(
z
+
a
)
2
{\displaystyle d_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}
、
d
2
2
=
x
2
+
y
2
+
(
z
−
a
)
2
{\displaystyle d_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}
。
τ
{\displaystyle \tau }
是
d
1
{\displaystyle d_{1}}
與
d
2
{\displaystyle d_{2}}
的比例的自然對數 :
τ
=
ln
d
1
d
2
{\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
。
如圖 3 ,
∠
F
1
P
F
2
{\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}
是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是
σ
{\displaystyle \sigma }
。用餘弦定理 來計算:
cos
σ
=
d
1
2
+
d
2
2
−
4
a
2
2
d
1
d
2
{\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}
。
標度因子
雙球坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
與
τ
{\displaystyle \tau }
的標度因子相等:
h
σ
=
h
τ
=
a
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
。
方位角的標度因子為
h
ϕ
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
。
無窮小體積元素是
d
V
=
a
3
sin
σ
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
3
d
σ
d
τ
d
ϕ
{\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
3
a
2
sin
σ
[
∂
∂
σ
(
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
∂
Φ
∂
σ
)
+
sin
σ
∂
∂
τ
(
1
cosh
τ
−
cos
σ
∂
Φ
∂
τ
)
+
1
sin
σ
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
]
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}
。
其它微分算子,像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
,
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
,都可以用
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內對應的一般公式。
應用
雙球坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程 或亥姆霍茲方程 這類的偏微分方程式 。在這些方程式裏,雙球坐標允許分離變數法 的使用。一個典型的例題是,有兩個不同半徑的圓球導體 ,請問其周圍的電位 與電場 為什麼?應用雙球坐標,我們可以精緻地分析這个问題。
參閱
參考目錄
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9 .
Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7 .