线性代数中,初等矩阵(又稱為基本矩陣[1])是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说,一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。[2]
事实速览 线性代数, 向量 ...
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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此变换 Ti j 将单位矩阵的第 i 行的所有元素与第 j 行互换。
![{\displaystyle T_{ij}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba1b30b9a4c3bb32cde40f240605c7d58c7b16c)
- 逆矩阵即自身:
。
- 因为单位矩阵的行列式为1,故
。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质:
。
此变换 Ti(m) 将第 i 行的所有元素乘以一個非零常数 m。
![{\displaystyle T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f916ca60d21f8aca2150614e01cde5d7ae72de)
- 逆矩阵为
。
- 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
- 其行列式
,故對所有階數相同的方阵 A 都有
。
此变换 Ti j(m) 将第 i 行加上第 j 行的 m 倍,其中 m 为第 i 列第 j 行的元素。
![{\displaystyle T_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4408874d1c41de42c6d552dd7300edcf2c069f)
- 逆矩阵具有性质
。
- 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
- 其行列式
,故對所有階數相同的方阵 A 有
。
初等行变换不影响线性方程组的解,也可用于高斯消元法,用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核(故不改变解集),但改变了矩阵的像。反过来,初等列变换没有改变像却改变了核。
有的时候,当矩阵的阶数比较高的时候,使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时,通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排,再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵,这时,右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵[3]。
- Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590
- Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137
- Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, (原始内容存档于2001-03-01)
- Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005
- Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006