等比数列,是数列的一种。在等比数列中,任何相邻两项的比例相等,该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数,所以又名几何数列(英語:Geometric progression)。
例如数列:
![{\displaystyle 3,6,12,24,48,96,...}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f4c86fa5a09f6cbfeef361beca6728c92a98f0)
就是一个等比数列。在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公比都等于
。
性質
如果一个等比数列的首项記作
,公比記作
,那么该等比数列第
项
的一般項为:
![{\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96caa72b214c30380f267e8ceec8940780108f0)
換句話說,任意一個等比数列
都可以寫成
![{\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221e67c4d266347549c2457883fe23c448ca0c54)
在一個等比數列中,給定任意兩相連項
和
(其中
),可知公比
![{\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1cf4283d806172c3bff08b05f3f4beb3b9667)
給定任意兩項
和
,則有公比
![{\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefd8925fd409222d48fdeca11973bedb733ed30)
這裡注意,若
是偶數,則公比可取此結果的正值或負值。
此外,在一個等比数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之積,為原來該項的平方。舉例來說,
。
更一般地說,有:
![{\displaystyle a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f421f014de2a5bb4c29b1dbdd84219d50a9afef1)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2578aa8a8c1da10ae6b7b2afb21fa62cb9c17faa)
證畢。
從另一個角度看,等比數列中的任意一項,是其相邻两项的幾何平均:
![{\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bafb634275f364789725e0716ba64fb54733f21)
此結果從上面直接可得。
如果有整數
,使得
,那么则有:
![{\displaystyle a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8b5b8069f0653c76db40bddd4b61fccea2953f)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22912a7448e809aeb617cbf7944831978550d075)
由此可將上面的性質一般化成:
![{\displaystyle a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdede3a13191288ab67df8fd670ce6d7531d403)
![{\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f69c50b09a4c8f0900e1009474fe4722eea476a)
其中
是一個小於
的正整數。
給定一個等比數列
,則有:
是一個等比數列。
是一個等比數列。
是一個等差數列。
從等比數列的一般項可知,任意一個可以寫成
![{\displaystyle a_{n}=pq^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f6e399d96d2a1c62c71f24e6f806560c338d96)
形式的數列,都是一個等比數列,其中公比
,首項
。
公比
公比(英語:Common ratio)是对于等比数列这一特殊数列而言的,它是指在等比数列中后一项与前一项的商。
等比数列的通项公式
等比数列都满足:
。例如,数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0(因為N÷0),否则為未定义。
等比数列和
一個等比數列的首
項之和,稱為等比数列和(sum of geometric sequence)或幾何級數(geometric series),記作
。
舉例來說,等比數列
的和是
。
等比數列求和的公式如下:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabe01a0afe27155e3c24f65722ebd0f8fef4176)
其中
為首項,
為項數,
為公比,且
。
公式證明如下:
将等比數列和写作以下形式:
……(1)
将两边同乘以公比 r,有:
……(2)
(1)式减去(2)式,有:
![{\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d82fdab08758507420edb8233077d0285fe500)
当
时,整理後得證。
當
時,可以发现:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f289b625ffe9be8d6c550ddba46e521e2750b066)
综上所述,等比数列的求和公式为:
![{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c6ffa40a8dfb3a55e652fc8688d481476d1951)
當
時,注意到
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5874496e13dd8058772b56615bbd8122cb2d4b14)
因此,我們可得無限項之和(sum to infinity)的公式為
![{\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0555e329c18f756b27882c0d182d2eef1844b9)
由此可見,當
時,幾何級數會收斂到一個固定值。
等比数列积
一個等比數列的首 n 項之積,稱為等比数列積(product of geometric sequence),記作 Pn。
舉例來說,等比數列
的積是
。
等比數列求積的公式如下:
![{\displaystyle P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2072e0a5f057affcdf6b61f08b0664bb50ee2ff)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff9a4c819cb05053adbdcd6a7124f80f58b0c7b)
第二步,公比r的指數中,0來自於數列的第一項。最後一步,使用了等差數列的求和公式,通項為
。
参见
参考文献