在數學中,某個集合 X 上的 σ-代数(英語:σ-algebra)又叫 σ-域(英語:σ-field),是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性(因此对于可數個交集运算也是封闭的)。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。
σ-代数的概念大约起始于1900~1930年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候,都需要用到。
动机
σ-代数的提出有至少三个作用:定义测度,操作集合的极限,以及管理集合所表示的部分信息。
测度
测度是给
的子集赋予非负实数值的函数;可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲,若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和,即使有无穷多个这样的不交集。
定义
注意到定義第3條的
,意思是
和自然数系
等势,直觀的意思就是
裡的元素跟自然數一樣多。
以上定義的直觀意義為:一群
的子集合所組成的集合
,为
上的一个 σ-代数意思是滿足:
本身就是
的元素;
- 如果集合
在
中,那么它的补集
也在
中;
- 如果有可數个集合
都在
中,那么它们的聯集也在
中。
在測度論裡有序对
會被称为一个可测空间。而任何在
中的子集
,則称为可测集合(measurable set);而在概率论中,
被稱為事件族(family of events),
中的子集
則称为事件。
例子
上最小的σ-代数是
。
上最大的σ-代数是
的冪集
(也就是所有
的子集合所組成的集合)
最小σ-代数
更多信息 根據
...
證明
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根據 的定義(嚴謹來說,依據分類公理所新增的公理),對所有集合 有:
(a)
以下將逐條檢驗σ代数的定義,來驗證 的確是 的σ代数:
(1)
對所有的集合族 來說,只要 是σ代数,按照定義理當有 ,所以由式(a)的右方的確可以得出 。
(2)若 ,則 也在 中
若 ,那根據式(a),對所有的集合族 來說,只要 是σ代数 且 ,理當有 ,所以對所有 只要滿足這兩個條件,理當有 ,所以由式(a)的右方的確有:
![{\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b47a4d37967696d80fc18cb4ce44a940e2940c)
(3)可數個并集也在 中
若 ,由式(a),只要 滿足(a)左方的兩個條件,就有 ,所以:
![{\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f737287c09cba0292d96b4e12c2fa5241c318e6c)
所以再從(a)右方,就可以得到:
![{\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e2f69477997096c7257d1d3b11e70d3f3a4a95)
綜上所述, 的確是 的σ代数。
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根據以上的定理,可以做以下的定義:
例子
- 设集合
,那么
是集合
上含有
的σ-代数中最「小」的一个。
性质
σ-代数是一个代数也是一个λ系,它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。
参考来源
Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2.,第45-46页