體 (數學)

場（英文：field），又譯做體（法文：corps、西班牙文：cuerpo）係一種代數結構。同時，佢又係環又係域。即係一個可以做加、減、乘、除嘅環。

場可以睇做最簡單嘅一種環，因為佢嘅理想只有兩個，一個係零理想，另一個係成個場自己。

佢主要經擴張域嚟討論多項式嘅根，即係伽華理論。

代數幾何入面都成日會用到場同埋場擴張，例如畀一個幾何物體，可以考慮佢嘅函數場（Function field），而呢個函數場好多時都包含住好多原本嘅幾何物件嘅資訊。同伽華理論唔同嘅係，代數幾何入面考慮嘅場，佢嘅超越維度（transcendental degree）好多時都係大過0，而伽華理論入面考慮嘅就好多時都係0維嘅。

定義

純代數定義

一個集${\displaystyle {\textbf {F}}}$，再加兩個二元運算${\displaystyle +}$（加）同${\displaystyle \times }$（乘），重有兩粒特別嘅元素，一粒係${\displaystyle 0}$；一粒係${\displaystyle 1}$，呢個設定符合以下條件：

1. ${\displaystyle ({\textbf {F}},+,0)}$係阿標群。
2. ${\displaystyle ({\textbf {F}}\backslash \{0\},\times ,1)}$係阿標群。
3. 對應任何${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$同${\displaystyle c}$喺${\displaystyle {\textbf {F}}}$入面，${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$。

咁${\displaystyle {\textbf {F}}}$就係一個場。

環論角度定義

利用環論嘅角度嚟睇，場都可以有同上面一樣嘅定義：

「一個帶${\displaystyle {\underline {1}}}$嘅可溝通環，如果佢入面所有非零嘅嘢都係可逆元（Unit），咁佢就係一個場。」

利用多項式定義

從上面嘅定義可以引伸出以下呢個定義：

「喺一個可溝通環到，當${\displaystyle a\neq 0}$，${\displaystyle ax=b}$條方程永遠有解嘅話，咁佢就係一個場。」

明顯，個解就係${\displaystyle x=a^{-1}b}$。換句話講，呢個環可以做到加、減、乘、除。

例子

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ —— 有理數；
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ —— 實數；
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ —— 整數除以5嘅餘數嘅等價類。

以上呢三個都係場。

場係域

根據定義，明顯場就係一個域（Integral Domain）。可以引伸到以下定義：

「一個場係無兩粒非零嘢乘埋係零，即係無Zero Divisor。」

證明：

如果${\displaystyle {\textbf {F}}}$係一個場。設${\displaystyle a\in {\textbf {F}}}$，${\displaystyle a\neq 0}$。

如果${\displaystyle ab=0}$，咁${\displaystyle 0=a^{-1}\cdot 0=a^{-1}\cdot (a\cdot b)=b}$。

咁即係任何兩粒非零嘢乘埋唔係零。

虛數場

距離乘法則

迪摩費定理（DeMoivre's Theorem）

睇埋

• 域
• 有限場
• 環同位轉換
• 擴展場