羣

  深入講羣，請睇羣論。

羣（英文：group）係數學上一種代數結構。一個羣係一個集，喺上面定義一種運算（一般叫佢做「乘法」，不過唔一定係，多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」），要令到集裏面任意兩個元素進行運算，結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合結合性質、恆等性質同可逆性質。

定義

如果有一個叫G嘅Set，我想佢係喺一個羣，就需要有一個二元運算（Binary Operation）「•」，（多數叫佢做乘，因為係用一點嚟表示）。而Set入面嘅嘢同個運算，需要符合以下幾個條件：

• 閉合性質（Closure）：${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b\in G}$。意思係，喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢，「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返${\displaystyle G}$入面。
• 結合性質（Associative）：${\displaystyle \forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$。意思係，無論有幾多粒嘢，點樣乘都無問題，做左前面先又得，做左後面先亦得。
• 恆等性質（Identity）：${\displaystyle \exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a}$。意思係，嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫${\displaystyle e}$或者叫${\displaystyle {\underline {1}}}$又或者叫identity，佢乘咩嘢都無變嘅。
• 可逆性質（Invertibility）：${\displaystyle \forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$。意思係，嗰堆嘢入面，每一粒嘢，都會有對應嘅另一粒嘢，佢哋乘埋會變返做${\displaystyle e}$。

咁如果一個set，再畀多個運算佢，又咁啱符合嗮以上條件，咁個set加埋呢個運算呢就係一個group，寫成${\displaystyle (G,\cdot )}$。

以上並唔要求${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a}$，即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話，咁呢個羣就叫做阿標羣（Abelian group）。

例子

整數羣

整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集，係寫成${\displaystyle \mathbb {Z} }$，佢入面裝住所有嘅整數，即係${\displaystyle \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\dots \}}$。因為羣需要一個運算，所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$係一個羣。

1. Closure：（${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b\in G}$）假設${\displaystyle \mathbb {Z} }$入面其中兩個元素，叫做a同b。由於${\displaystyle a+b}$得出嘅係整數，而${\displaystyle \mathbb {Z} }$係包齊曬所有整數。所以${\displaystyle a+b\in \mathbb {Z} }$。
2. Associative：（${\displaystyle \forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$）假設${\displaystyle \mathbb {Z} }$入面揀任何三個元素，叫做a、b同埋c。做加法嗰時，做完${\displaystyle a+b}$先再加c，同做完${\displaystyle b+c}$之後再加a，兩個結果係一樣嘅。所以${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$。
3. Identity：（${\displaystyle \exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a}$） 是旦搵一個元素，佢搞完（即係加）其他元素，佢都係無變嘅，咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢，都等於無加過嘢。
4. Invertibility：（${\displaystyle \forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$） 每一粒喺${\displaystyle \mathbb {Z} }$入面嘅元素，都係有另一半，而佢同佢另一半加埋之後，會變做0。一個元素a，佢嘅另一半就係(-a)，佢哋加埋就會變做0。

幾何變換

譬如話，喺${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換（即係映射）；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構（例如域要定義加法、乘法兩種運算）。不過亦有交換群。

常見例子

群	運算	恆等元（Identity）	樣（Form）	逆元（Inverse）	係唔係阿標
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle -n}$	係
${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {m}{n}}:n\neq 0}$	${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$	係
${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle +\mod n}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle n-k}$	係
${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$	係
${\displaystyle {\textbf {GL}}(2,F)}$	矩陣乘法	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {d}{ad-bc}}&{\frac {-b}{ad-bc}}\\{\frac {-c}{ad-bc}}&{\frac {a}{ad-bc}}\end{bmatrix}}}$	唔係
${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$	${\displaystyle \times \mod n}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k:\gcd(k,n)=1}$	${\displaystyle kx\mod n=1}$嘅解	係
${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (0,0,\cdots ,0)}$	${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$	${\displaystyle (-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})}$	係
${\displaystyle {\textbf {SL}}(2,F)}$	矩陣乘法	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}$	唔係
${\displaystyle D_{n}}$	${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle R_{0}}$	${\displaystyle R_{a'}L}$	${\displaystyle LR_{360-a'}}$	唔係

性質

由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係：「如果一個群符合${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a}$要求，咁樣呢個群就係阿標群。」，但係群都有其他性質：

• 用域（Field）入面非零嘅噖，加一般既乘法整成嘅群，就會係一個一般乘法嘅阿標群。
• 用環（Ring）入面嘅野，加一般加法整成嘅群，就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定${\displaystyle G}$係個群同埋${\displaystyle a,b,c\in G}$都係${\displaystyle G}$入面嘅嘢。

1. 如果${\displaystyle a\cdot b=a\cdot c}$係${\displaystyle G}$入面成立，咁${\displaystyle b=c}$。對應既係，如果${\displaystyle ba=ca}$，咁${\displaystyle b=c}$。
2. 每一個${\displaystyle G}$入面，只係得一粒${\displaystyle e}$。
3. 每一粒${\displaystyle a}$，佢嘅${\displaystyle a^{-1}}$都係得一粒。
4. ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$
5. ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$
6. 對應任何整數${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$，${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$同${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$都會成立。

證明

證明(1)

因為${\displaystyle a\cdot b=a\cdot c}$喺${\displaystyle G}$入面成立，咁一定會有一個${\displaystyle a^{-1}}$係${\displaystyle G}$入面，咁即係$${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot b&=a\cdot c\\a^{-1}\cdot (a\cdot b)&=a^{-1}\cdot (a\cdot c)\\(a^{-1}\cdot a)\cdot b&=(a^{-1}\cdot a)\cdot c\\e\cdot b&=e\cdot c\\b&=c\end{aligned}}}$$

證明(2)

假設有兩個${\displaystyle e,e'\in G}$。

咁因為${\displaystyle e}$係恆等，所以${\displaystyle e\cdot e'=e'\cdot e=e}$。

而因為${\displaystyle e'}$係恆等，所以${\displaystyle e'\cdot e=e\cdot e'=e'}$。

由上面兩條式睇到，${\displaystyle e=e'}$。

證明(3)

假設${\displaystyle a\in G}$，同時有兩粒${\displaystyle m,m'}$符合${\displaystyle a\cdot m=e}$，${\displaystyle a\cdot m'=e}$。

咁得出，${\displaystyle a\cdot m=e=a\cdot m'}$。

利用(1)嘅結果，得知${\displaystyle m=m'}$。

證明(4)

假設${\displaystyle a,b\in G}$。$${\displaystyle {\begin{aligned}(ab)\cdot (ab)^{-1}&=e\\b\cdot (ab)^{-1}&=a^{-1}\\(ab)^{-1}&=a^{-1}\cdot b^{-1}\end{aligned}}}$$

證明(5)

假設${\displaystyle a\in G}$。$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{-1}\cdot (a^{-1})^{-1}&=e\\(a^{-1})^{-1}&=a\\\end{aligned}}}$$

有限群同基數

基數（Order）係群嘅一個概念，佢同集嘅基數（Carnality）嘅意思一樣，都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

定義(有限群)

假設${\displaystyle G}$係一個群。如果${\displaystyle G}$係有限群（Finite Group or Finite Order），即係話佢入面只係得有限嘅元素（嘢）。

${\displaystyle G}$入面嘅嘢嘅數量會叫做${\displaystyle G}$嘅基數（Order of G），一般會用${\displaystyle |G|}$嚟表示。

如果${\displaystyle G}$入面嘅嘢係無限咁多，會將${\displaystyle G}$叫做無限群（Infinite Order）。

定理

如果有${\displaystyle G}$同${\displaystyle H}$兩個群。將${\displaystyle \circ }$定義為一個係${\displaystyle G\times H}$入面嘅運算，而呢個運算係咁嘅$${\displaystyle (g,h)\circ (g',h')=(g\cdot g',h\cdot h')}$$咁樣${\displaystyle G}$就係一個群。

如果${\displaystyle G}$同${\displaystyle H}$都係阿標群，咁${\displaystyle G\times H}$都係阿標群。

如果${\displaystyle G}$同${\displaystyle H}$都係有限群，咁${\displaystyle G\times H}$都係，而且${\displaystyle |G\times H|=|G||H|}$。

定義(元素基數)

設${\displaystyle G}$係一個群，${\displaystyle g\in G}$係${\displaystyle G}$入面嘅一粒嘢。

如果${\displaystyle g}$係有基數（Finite Order），即係話，對應一啲嘅正整數${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$，${\displaystyle g^{k}=e}$。

一般，會將最細嘅正整數${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$，符合${\displaystyle g^{n}=e}$，叫做${\displaystyle g}$嘅基數（Order of the element ${\displaystyle g}$）。

一般會寫做，${\displaystyle |a|=n}$，${\displaystyle g}$嘅基數係${\displaystyle n}$。

如果${\displaystyle g}$係冇基數（Infinite Order），即係話，對應所有嘅正整數${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$，${\displaystyle g^{k}\neq e}$。

性質

以下假設咗${\displaystyle G}$係一個群，而${\displaystyle g}$係${\displaystyle G}$入面嘅嘢。

1. 如果${\displaystyle g}$係冇基數，咁每一粒${\displaystyle g^{k}}$都係唔同嘅（唔相等嘅），${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$係正數。
2. 如果${\displaystyle g}$係有基數，而佢嘅基數係${\displaystyle n}$，咁${\displaystyle g^{k}=e\iff n|k}$同埋${\displaystyle g^{i}=g^{j}\iff i\equiv j\mod n}$。
3. 如果${\displaystyle g}$係有基數，而基數係${\displaystyle n=td}$，咁${\displaystyle g^{t}}$嘅基數係${\displaystyle d}$。
4. 如果${\displaystyle g^{i}=g^{j},i\neq j}$，咁${\displaystyle g}$就有基數。

證明

證明(1)

利用否定證明，證明如果有${\displaystyle g^{k}}$係相等，咁即係${\displaystyle g}$係有基數。

假設${\displaystyle g^{i}=g^{j},j>i}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{i}&=g^{j}\\g^{-i}\cdot g^{i}&=g^{-i}\cdot g^{j}\\e&=g^{j-i}\end{aligned}}}$

咁即係${\displaystyle g}$係有基數。

證明(2)

假設${\displaystyle g}$嘅基數係${\displaystyle n}$。

因為${\displaystyle n|k}$，所以${\displaystyle nt=k}$。

${\displaystyle g^{k}=g^{nt}=(g^{n})^{t}=e^{t}=e}$

上面證明咗，如果${\displaystyle k}$係${\displaystyle n}$嘅倍數，咁${\displaystyle g^{k}=e}$。

利用(1)嘅證明得知，${\displaystyle j-i}$係${\displaystyle n}$嘅倍數。

利用同餘定義，${\displaystyle i\equiv j\mod n}$。

證明(3)

假設${\displaystyle g}$嘅基數係${\displaystyle n=td}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{n}&=e\\g^{td}&=e\\(g^{t})^{d}&=e\\(g^{t})\cdots {\text{ d times }}\cdots (g^{t})&=e\end{aligned}}}$

所以${\displaystyle g^{t}}$嘅基數係${\displaystyle d}$。

應用

利用上面嘅概念同性質，可以證明出更多嘅定理。以下都假設${\displaystyle G}$係一個群，${\displaystyle g,a,b,c}$都係${\displaystyle G}$入面嘅剐。

1. 如果${\displaystyle g^{2}=g}$，咁${\displaystyle g=e}$。
2. 如果${\displaystyle ab=e}$，咁${\displaystyle ba=e}$。
3. 如果${\displaystyle G}$係阿標群，咁${\displaystyle (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}}$係一定成立。「${\displaystyle \iff }$」
4. 如果${\displaystyle G}$嘅基數係${\displaystyle 2}$，咁${\displaystyle G}$就係一個阿標群。「即係話，${\displaystyle |G|=2\iff g=g^{-1}}$」
5. 只會得一粒${\displaystyle g}$係符合${\displaystyle agb=c}$。
6. ${\displaystyle |g|=|g^{-1}|}$
7. 如果${\displaystyle |G|}$係雙數，咁${\displaystyle G}$入面就會有粒嘢嘅基數係${\displaystyle 2}$。

睇埋

• 子群
• 積群
• 群轉換

參考