繩嘅振動

當正弦波經過一條繩嘅時候，條繩上面每一點都會進行簡諧振動，然後條繩就可以產生音調。但係，有一條更加重要嘅公式，係關於嗰條正弦波嘅波速。假設嗰條繩嘅（水平）張力係 ${\displaystyle T}$，每單位長度嘅質量係 ${\displaystyle \mu }$，咁經過嗰條繩嘅正弦波嘅波速 ${\displaystyle v}$ 係：

一啲繩嘅振動

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

證明

Illustration for a vibrating string

睇下右面嘅圖。假設攞一橛好短嘅線段（咁樣成橛繩都可以當做同一個粒子），水平嚟計嘅長度係 ${\displaystyle dx}$（或者可以寫做 ${\displaystyle \Delta x}$，參考差動）。

考慮響距離 ${\displaystyle x}$ 呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {T_{1}\sin \alpha }{T_{1}\cos \alpha }}=\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x,t)}}$

考慮響距離 ${\displaystyle x+dx}$ 呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {T_{2}\sin \beta }{T_{2}\cos \beta }}=\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x+dx,t)}}$

但係，根據波嘅定義，因為波嘅其中一個特性係剩係會傳播能量，而唔會傳播任何物質，所以係條波經過嘅地方，每一個粒子都只會上下咁振，而永遠唔會有水平方向嘅位移，再根據牛頓第一定律，得到：

${\displaystyle T_{1}\cos \alpha =T_{2}\cos \beta =T}$

於是，就可以得到：

${\displaystyle T_{1}\sin \alpha =T\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x,t)}}$

${\displaystyle T_{2}\sin \beta =T\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x+dx,t)}}$

考慮垂直方向嘅淨力：

${\displaystyle F_{net}=T_{2}\sin \beta -T_{1}\sin \alpha =T(\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x+dx,t)}-\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|_{(x,t)})=T(y_{x}(x+dx,t)-y_{x}(x,t))}$

只不過，根據牛頓第二定律：

${\displaystyle F_{net}=ma=\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$

於是：

${\displaystyle T(y_{x}(x+dx,t)-y_{x}(x,t))=\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {y_{x}(x+dx,t)-y_{x}(x,t)}{dx}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$

左邊嗰嚿嘢其實係二階偏導數 ${\displaystyle y_{xx}}$，即係 ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}$。得到：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$

而根據波動方程，${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$。所以：

${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}={\frac {\mu }{T}}}$

經過整理，得到 ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$。

如果想要嚴格啲嘅證明，可以用正弦波嘅函數表示公式：

${\displaystyle y=A\sin(kx-\omega t+\phi )}$

咁樣以上得到嘅偏微分方程就會變成：

${\displaystyle -k^{2}A\sin(kx-\omega t+\phi )=-{\frac {\mu }{T}}\omega ^{2}A\sin(kx-\omega t+\phi )}$

約走個正弦波函數表示公式再執靚佢，得到：

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{k^{2}}}={\frac {T}{\mu }}}$

但係因為 ${\displaystyle {\frac {\omega }{k}}=v}$，所以條式變咗：

${\displaystyle v^{2}={\frac {T}{\mu }}}$

所以，${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$。

出面網頁

• 波動方程同埋波速