笛卡兒積

笛卡兒積係一種集合之間嘅運算，又叫做直積。

笛卡兒積 ${\displaystyle A\times B}$，${\displaystyle A=\{x,y,z\}}$，${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$

我哋可以用一個表嚟表示笛卡兒積 ${\displaystyle A\times B}$，當中 ${\displaystyle A}$ 同 ${\displaystyle B}$ 分別係行同埋列，如果 ${\displaystyle a\in A,b\in B}$ 嘅話，第 ${\displaystyle a}$ 行 ${\displaystyle b}$ 列嗰一格就係填二元有序對 ${\displaystyle (a,b)}$ 喇。

定義

設X同Y係兩個集合，噉X同Y嘅笛卡兒積就係：

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y)|x\in X\land y\in Y\}}$

或者講，兩個集合嘅笛卡兒積包括咗所有滿足下列條件嘅二元有序對：呢啲有序對當中每一個嘅第一個對象屬于第一個集合，而第二個對象屬于第二個集合。

當${\displaystyle X\neq Y}$嘅時候，嚴格嚟講 ${\displaystyle X\times Y}$ 同 ${\displaystyle Y\times X}$ 唔相等，但係佢哋之間有自然嘅一一對應：${\displaystyle (x,y)\leftrightarrow (y,x)}$。

當${\displaystyle X=Y}$嘅時候，可以將 ${\displaystyle X\times X}$ 簡寫成${\displaystyle X^{2}}$。

實例

${\displaystyle \{1,2\}\times \{3,4\}=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}}$

用R表示實數集，則R²表示所有嘅實二元數對，亦可以直觀噉認為表示成個笛卡兒坐標平面。