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呢個定理有好多方法去證明,方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思(Elisha Scott Loomis)嘅 Pythagorean Proposition 一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦同餘弦函數嘅泰勒級數)嚟證明畢氏定理,但係咁做會構成循環論證,所以唔用得,因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理。
有好多畢氏定理嘅證明方式,都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例。
設 為一個直角三角形,直角係 角。由 點拉一條同 垂直嘅直線,直線同 嘅交叉點稱為 。呢個新三角形 同原本嘅三角形 都有一個直角同 呢個共同角,所以三個角都一樣,所以兩個三角形相似。同樣道理, 同 都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係:
因為
所以
即係
綜合呢兩個方程式,可以得到
喺歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設 為一個直角三角形,其中 係直角。由 點劃一直線至對邊,令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二,佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。
喺定理嘅證明中,需要以下四個輔助定理:
證明嘅思路係:將上方嘅兩個正方形,透過等高同底嘅三角形,以佢嘅面積關係,轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。
證明如下:
呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅[1][2][3]。
由於呢個定理嘅證明要靠平行公理,而且由呢個定理可以推出平行公理,好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。
呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 。將四個相等嘅三角形移除之後,左邊剩底嘅面積就係 ,右邊剩底嘅面積係 ,兩者相等。
畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法,其中 係最長邊:
n維空間中,s係各直角邊,r係斜邊:
即係
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