歐拉猜想

歐拉猜想係由歐拉提出，從費馬最後定理引出嘅猜想，已經確定唔成立。

呢個猜想係講對每個大於2嘅整數${\displaystyle n}$，任何${\displaystyle n-1}$個正整數嘅${\displaystyle n}$次冪嘅和都唔係某正整數嘅${\displaystyle n}$次冪，亦即係以下不定方程無正整數解：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}^{n}=b^{n},\,n>2}$

歷史

呢個猜想喺1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻。佢哋搵出${\displaystyle n=5}$嘅反例：

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}$

1988年，Noam Elkies搵出一個對${\displaystyle n=4}$製造反例嘅方法。佢畀出嘅反例中最細嘅係：

${\displaystyle 2682440^{4}[phone]^{4}[phone]^{4}=20615673^{4}}$

Roger Frye以Elkies嘅技巧用電腦直接搜索，搵出${\displaystyle n=4}$時最細嘅反例：

${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}}$

1999年Mark Dodrill搵出：

${\displaystyle 127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}}$^[1]

2000年${\displaystyle n=8}$嘅反例由S. Chase搵出：

${\displaystyle 90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}}$

參考資料

1. http://euler.free.fr/newsletter1.txt

外部連結

• Wolfram MathWorld Diophantine Equation -- 7th Powers Wayback Machine嘅版面存檔備份