剛體動力學

剛體動力學（粵拼：gong1 tai2 dung6 lik6 hok6；英文：rigid body dynamics）係動力學嘅一個子領域，分析嘅係一啲由多嚿相連嘅物體組成嘅系統，仲有係呢啲系統點樣喺外界嘅力嘅影響之下郁動。當中係假設咗啲物體係剛體－即係假設咗啲物體唔會變形^[1][2]。

一部蒸汽機有多嚿機件，每件都可以想像成一嚿剛體，喺外界嘅力同彼此之間嘅影響下郁動。

舉個具體例子說明，想像家陣有部蒸汽機，部蒸汽機有好多嚿機件；而家當每件機件都係一嚿剛體－喺現實世界，機件一定唔係剛體，不過如果啲機件夠硬淨，硬到喺正常運作情況下完全唔會變形嘅話，噉「當啲機件係剛體」呢個理想化嘅假設唔會影響分析嘅準確度；跟住分析者就可以將啲機件之間嘅關係，寫做力（${\displaystyle \mathbf {F} }$）同加速度（${\displaystyle \mathbf {A} }$）等變數之間嘅方程式，就好似以下噉^[3][4]－

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i}}$（睇埋牛頓第二定律）

再用呢啲式嚟估計啲機件會點樣隨時間而郁動，亦可以從而得出「如果畀咁多咁多力落呢嚿機件度，成部機出幾多嘅力」噉嘅有用資訊^[5]。事實係到咗廿一世紀初，剛體動力學有咗相當廣泛嘅用途，喺工程學（例子可以睇吓機械人學^[2]）以至遊戲物理^[1]等嘅工作上都成日會畀人攞嚟分析系統嘅郁動。

定位

而家打緊棒球；擊球手嘗試用棍打中個波。

内文：剛體同動力學

剛體動力學係以剛體做前提嚟做研究嘅動力學：

• 動力學（dynamics）係力學下嘅一門學問；力學研究力同埋力對物體嘅影響，而動力學就再專啲，用牛頓嗰套做法研究力點樣影響物體嘅郁動；例如家陣打棒球，投球手全力向擊球手掟個波－用佢自己身體嘅力令個波得到一個速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$，當中 ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$（即係話個波郁緊），同時擊球手想做嘅係揮自己支棒球棍打中個波，令個波向相反方向飛－想用支棍嘅力嚟改變個波嘅 ${\displaystyle \mathbf {v} }$，好似呢啲噉嘅物理過程就係動力學嘅分析對象^{[註 1][6]}。
• 剛體（rigid body）係一種想像中嘅固體物體，定義特徵係完全唔會變形－無論外界向嚿剛體施幾勁嘅力都好，嚿剛體內部啲粒子彼此之間嘅距離都完全唔會變，或者變嘅幅度細到可以忽略；喺現實世界，冇嘢係剛體－就算一支棒球棍用最精良嘅鋼（一種出嗮名硬淨嘅材料）造嘅都好，「支棍能夠頂得順幾勁嘅力」都實會係個有限嘅數值；不過如果呢個數值夠大，就會做到「喺絕大多數應用下，根本唔會出現支棒球棍變形嘅情況」－「假設支棒球棍係剛體」嘅做法可以令分析過程冇咁複雜得嚟，又唔會對結果嘅準確度造成明顯嘅影響^[2][5]。

因為噉，剛體動力學最常係攞嚟分析一啲「由若干嚿有返咁上下硬淨（所以剛體嘅假設大致成立）嘅物體組成」嘅系統嗰啲組成部份嘅郁動－最常見嘅例子係各種嘅現代機械，而機械人學上亦都成日會用剛體動力學嚟分析一部機械人啲唔同部件之間嘅互動^[2]。

概念

睇埋：牛頓運動定律、向量、點積同微分

剛體動力學實會用到位移（${\displaystyle \mathbf {r} }$）、速度（${\displaystyle \mathbf {v} }$）同加速度（${\displaystyle \mathbf {a} }$）呢幾個牛頓力學基本概念^{[註 2][7]}，

${\displaystyle \mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}}$；當中 ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ 就係成個過程用咗嘅時間。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!}$；

用日常用語講，上述嘅式可以簡化噉講做「速度係位移隨住時間而改變嘅率」以及「加速度係速度隨住時間而改變嘅率」（睇埋牛頓力學）。除此之外，剛體動力學仲會用到力（${\displaystyle \mathbf {F} }$；都係個向量）嘅概念，根據牛頓第二定律，力可以用下面呢條式嚟諗^[8]：

${\displaystyle \mathbf {F} =m_{i}\mathbf {a} _{i}}$，當中 ${\displaystyle m_{i}}$ 係受緊力嗰嚿物體嘅質量。

有咗呢幾條式，分析者就可以將 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 同 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 寫做時間嘅函數，能夠按每個時間點嘅 ${\displaystyle \mathbf {F} }$（假設 ${\displaystyle m_{i}}$ 係已知）計出每嚿物體喺嗰點時間嘅 ${\displaystyle \mathbf {r} }$、${\displaystyle \mathbf {v} }$ 同 ${\displaystyle \mathbf {a} }$。

定向

内文：定向 (幾何學)

剛體動力學分析嘅剛體係會旋轉嘅－唔似得基本牛頓力學分析嗰啲點質量噉。定向（orientation / angular position，${\displaystyle \mathbf {R} }$）喺直覺上係指「一嚿物體喺空間入面指住邊個方向」；技術性啲噉講，一嚿物體嘅 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ 係指攞個對照嘅坐標系統，嚿物體相對於個座標系統嚟講旋轉咗幾多。想像家陣有嚿物體身處喺個 3D 嘅空間裏面^[9]，

1. 設嚿物體家陣個 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ 做對照（reference）；
2. 因為嚿物體身處喺立體空間，佢嘅位置可以用 XYZ 三條軸嚟度；
3. 揀 XYZ 入面其中一條軸，將嚿物體沿嗰條軸固定，再向想要嘅方向轉 ${\displaystyle \alpha }$ 咁多角度；
4. 將步驟 3 重複最多兩次；
5. 最後得出一串三個^{[註 3]}數（好似係 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ 噉），可以用嚟表示嚿物體喺空間裏面嘅 ${\displaystyle \mathbf {R} }$。

呢種做法就係所謂嘅歐拉角（Euler angles；個名嚟自著名 18 世紀瑞士數學家歐拉）。到咗廿一世紀初，歐拉角嘅諗嘢方式好多人採用，例如啲人整電子遊戲或者 VR 嗰時就好興用歐拉角嘅方法嚟教電腦記住虛擬世界入面每件物體嘅定向^[10]。

一個立體空間入面嘅三條軸 一個立體空間入面嘅三條軸  將一嚿大致成球體嘅物體旋轉；第一吓旋轉係固定咗打戙條軸嚟轉嘅。 將一嚿大致成球體嘅物體旋轉；第一吓旋轉係固定咗打戙條軸嚟轉嘅。  一塊圓形平面嘅旋轉用歐拉角嚟表示－藍色係轉前嘅位，紅色係轉後嘅位。 一塊圓形平面嘅旋轉用歐拉角嚟表示－藍色係轉前嘅位，紅色係轉後嘅位。

第啲概念

睇埋：弧度

• 重心（center of mass）：喺做剛體動力分析嗰陣，啲人通常會將件物體嘅位置設做佢個重心嘅位置；而家攞住一件物體，假設分析者已經知道件物體個質量 ${\displaystyle M}$，噉件物體個重心嘅位一個可能嘅計法如下^[1]－

  ${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i},}$

  • 當中 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ 係指點 ${\displaystyle i}$ 喺嚿物體入面邊個位，靠「距離對照點有幾遠」衡量，而 ${\displaystyle m_{i}}$ 就係指點 ${\displaystyle i}$ 有嘅質量^{[註 4]}。
• 旋轉
  • 力矩，對應基本牛頓力學講嘅力；
  • 角速度，對應基本牛頓力學講嘅速度；
  • 角動量，對應基本牛頓力學講嘅動量；

... 呀噉。

電腦相關

• 物理引擎
• 遊戲物理
• 碰撞探測
• 物件導向編程

睇埋

• 微分
• 機械
• 動態系統
• 粒子系統
• 材料科學

註釋

1. 至於要用啲咩方程式，可以睇吓牛頓力學入面嘅牛頓運動定律。
2. 再詳細啲講，呢幾個變數係向量。
3. 要有特定次序嘅
4. 上述呢種計法係將嚿物體睇做若干點離散嘅點。如果要進階啲噉將件物體睇做連續，可以用積分嚟計。

文獻

• Leimanis, E. (1965). The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point. (Springer, New York).
• Heard, W. B. (2006). Rigid Body Mechanics: Mathematics, Physics and Applications. (Wiley-VCH).
• An Introduction to Physically Based Modeling: Rigid Body Simulation I - Unconstrained Rigid Body Dynamics (PDF). Robotics Institute Carnegie Mellon University.

攷

1. Video Game Physics Tutorial - Part I: An Introduction to Rigid Body Dynamics. Developers.
2. Tsai, L. W. (1999). Robot analysis: the mechanics of serial and parallel manipulators. John Wiley & Sons.
3. Anitescu, M., Potra, F. A., & Stewart, D. E. (1999). Time-stepping for three-dimensional rigid body dynamics. Computer methods in applied mechanics and engineering, 177(3-4), 183-197.
4. Slavković, R., Veg, A., Dučić, N., Slavković, N., Baralić, J., & Milićević, I. (2015). Rigid body dynamics in optimization of the machine tool vibroisolation. Tehnički vjesnik, 22(1), 87-94.
5. Hahn, H. (2013). Rigid Body Dynamics of Mechanisms: 1 Theoretical Basis. Springer Science & Business Media.
6. Holzner, Steven (December 2005). Physics for Dummies. Wiley, John & Sons, Incorporated. pp. 64.
7. Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. p. 125.
8. O'Sullivan, C. Newton's laws of motion: Some interpretations of the formalism. American Journal of Physics. Feb 1980, 48 (2): pp. 131.
9. Robert J. Twiss; Eldridge M. Moores (1992). "§2.1 The orientation of structures". Structural Geology (2nd ed.). Macmillan. p. 11.
10. Euler Angles. Wolfram MathWorld.

拎

• Chris Hecker's Rigid Body Dynamics Information.
• Physically Based Modeling: Principles and Practice.
• Video Game Physics Tutorial - Part I: An Introduction to Rigid Body Dynamics. Developers.
• F. Klein, "Note on the connection between line geometry and the mechanics of rigid bodies" (English translation)
• F. Klein, "On Sir Robert Ball's theory of screws" (English translation)
• E. Cotton, "Application of Cayley geometry to the geometric study of the displacement of a solid around a fixed point" (English translation)