分類證明

分類證明（粵拼：Fan¹ leoi⁶ zing³ ming⁴；英文：Proof by exhaustion，或者 Proof by cases）係咁多種證明方法之一。當一個命題出現多個可能嘅時候，就可以將佢分做個案（Case），再睇下每個個案出嚟嘅結果。利用分類證明嘅定理包括咗四色問題（Four Colour Problem）。

好多好有用嘅定理都需要用到分類證明嚟證明，例如三角形不等式、絕對值等。

例子

要求：證明「任何整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$，${\displaystyle n^{2}+3n+7}$ 係一個單數。」

如果 ${\displaystyle n}$ 係雙數

如果 ${\displaystyle n}$ 係雙數，咁就有一個整數 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 符合 ${\displaystyle n=2k}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}+3n+7&=(2k)^{2}+3(2k)+7\\&=4k^{2}+6k+7\\&=2(2k^{2}+3k+3)+1\end{aligned}}}$

因此，${\displaystyle n^{2}+3n+7}$ 係一個單數。

如果 ${\displaystyle n}$ 係單數

如果 ${\displaystyle n}$ 係單數，咁就有一個整數 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 符合 ${\displaystyle n=2k+1}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}+3n+7&=(2k+1)^{2}+3(2k+1)+7\\&=4k^{2}+10k+11\\&=2(2k^{2}+5k+5)+1\end{aligned}}}$

因此，${\displaystyle n^{2}+3n+7}$ 係一個單數。

因為整數一係單數一係雙數，而喺以上兩個個案入面 ${\displaystyle n^{2}+3n+7}$ 都係一個單數，所以「任何整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$，${\displaystyle n^{2}+3n+7}$ 係一個單數。」呢句命題成立。

更多例子

以下嘅定理可以用分類證明簡單咁證出嚟。

• 任何一個平方都係，對應某啲 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$，「${\displaystyle 3k}$」或者「${\displaystyle 3k+1}$」是但一個樣。
• 任何一個三次方都係，對應某啲 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$，「${\displaystyle 9k}$」、「${\displaystyle 9k+1}$」或者「${\displaystyle 9k+8}$」是但一個樣。
• 設 ${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$ 做一個集。「${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\backslash B)\cup (B\backslash A)}$」
• ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$
• ${\displaystyle {\bigl |}{\frac {x}{y}}{\bigr |}={\frac {|x|}{|y|}}}$
• ${\displaystyle ||x|-|y||\leq |x-y|}$
• ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$
• 證明最高值函數（Maximum Function），${\displaystyle \max(x,y)}$，係 ${\displaystyle {\frac {x+y+|x-y|}{2}}}$。
• 證明最低值函數（Minimum Function），${\displaystyle \min(x,y)}$，係 ${\displaystyle {\frac {x+y-|x-y|}{2}}}$。

睇埋

• 直接證明
• 否定證明
• 數學歸納法
• 矛盾證明

參考

• Kleene, S. C. (1934). Proof by cases in formal logic. Annals of Mathematics, 529-544.