幾何學 (粵拼 :gei2 ho4 hok6 ;古希臘文 : γεωμετρία / geometria )係數學 嘅一個分科,專門思考有關形狀 、物體 嘅相對位置 以及空間 嘅特性等嘅課題。幾何學理論以點 、直線 、平面 、角 以及維度 等嘅概念為基礎,會用數學證明 嘅方法,證明描述呢啲概念嘅定理 ,靠噉嚟增進人類對呢啲概念同埋相應嘅現實世界物體嘅理解[1] [2] 。
幾何學歷史悠久:公元前 嘅古希臘 等多個遠古文明 都有獨立噉建立幾何學方法諗長度 、面積 同容量 等嘅概念,用嚟做設計建築 等嘅多種用途[1] [3] ;形式化嘅幾何學源於古希臘,喺公元前 3 世紀,古希臘數學家 歐幾里得 喺佢本名著《幾何原本 》當中用公理化 嘅方法證明咗多條幾何學上嘅定理,為後世嘅幾何學研究奠定咗一個重要嘅根基[4] 。而中世紀 (5 至 15 世紀)同埋打後嘅數學家亦一直有將幾何學再發展上去[5] 。去到現時(廿一世紀初),幾何學都係一個活躍嘅研究領域。
喺廿一世紀初,幾何學知識相當有影響力[6] ,喺好多科學 同工程學 領域上都相當有用,例如:古典力學 喺分析物體嘅移動嗰陣,成日都會用到距離 同速率 等建基於幾何學嘅概念[7] ;電腦圖像 泛指用電腦 整嘅圖像 ,而一部電腦 整 3D 模型 嗰時要做運算 ,中途用到「個模型呢條邊有幾長」同「個模型呢隻角有幾大」噉嘅資訊 [8] ;建築學 研究建築物 嘅設計 ,會對建築物作出幾何分析-建築物唔同部位嘅角度同長度會影響棟建築物穩唔穩陣[9] 呀噉。
平面上面嘅一拃點;每粒點都可以想像成「塊平面」呢個集 入面嘅一個元素 。
幾何學係研究空間 嘅數學 子領域。「『空間』呢個概念要點定義 」係一條可以幾撈絞嘅問題,不過喺最基本(歐幾里得幾何 )上,空間可以用點 、直線 同埋平面 等嘅概念想像。
3D 或以上
有咗點 、直線 、曲線 、平面 同角 呢啲基本概念,研究者就可以對現實世界嘅空間做出基本嘅分析:3D 空間 指笪空間入面嘅每個可能點都要有三個數
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
,先可以講明佢喺邊個位-人類 日常生活當中會接觸到嘅世界,就可以想像成一笪 3D 空間,有三條完全直嘅軸[註 4] ;响呢笪 3D 空間裏面,
每件物體都有長度、闊度同高度表示佢「掗咗幾多空間」,
每件物體都可以沿三條軸郁動 -可以有前後左右上下一共六個方向 ;
一笪 3D 空間會有好多點,可以有直線、曲線同平面,而線之間或者平面之間(或者線同平面之間)可以有角度。
一個球體 ;當中 係個球體嘅半徑 。 一個球體 ;當中
r
{\displaystyle r}
係個球體嘅半徑 。
一個立方體 ;定義 上,一個立方體每條邊都一樣咁長,而且是但搵其中兩條邊睇,嗰兩條邊都成直角 。 一個
立方體 ;
定義 上,一個立方體每條邊都一樣咁長,而且是但搵其中兩條邊睇,嗰兩條邊都成
直角 。
3D 空間 嘅旋轉動畫;喺一笪 3D 空間入面,一點嘅位置可以表示做 噉嘅樣,當中每個數表示嗰點沿其中一條軸 嘅位。3D 空間 嘅旋轉動畫;喺一笪 3D 空間入面,一點嘅位置可以表示做
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
噉嘅樣,當中每個數表示嗰點沿其中一條
軸 嘅位。
對 3D 或以上維度嘅空間嘅分析好有用。幾何學家會用數學證明 嘅方法,探究點、線同埋空間有咩特性,而第啲領域嘅工作者就可以攞住呢啲知識去做嘢:喺廿一世紀初嘅多數工程學 應用上,分析空間嘅特性可以齋靠「將空間想像成笪 3D 空間,而且每個位置都可以用實數 坐標表示」就搞得掂-呢種分析可以攞嚟分析交通工具 (汽車 等嘅嘢郁動,就係改變喺空間入面嘅位置)同建築物 (一棟建築物會有長度、闊度同高度)等工程學上會想分析嘅嘢;古典物理學 上嘅分析可以齋靠 3D 就搞得掂,而進階嘅物理學 -例如廣義相對論 -仲會用到多過三個維度嚟描述時空 [19] 。
一場保角映射 ;雖然有啲直線 變咗曲線 ,但如果兩條線原本係成直角 嘅話,出嚟嘅兩條曲線都會成直角。
幾何學理論基礎 [e 3] 係指嘗試用公理化 嘅方式推導出一套有系統嘅幾何學嘅數學 研究。喺建立幾何學理論嗰陣,數學家 希望做到齋靠以下幾樣嘢砌出一個內部一致 (即係唔能夠由個理論嗰度推導出邏輯性矛盾 )嘅理論[4] [20] :
原始諗法 [e 4] :即係一啲最基本、唔使定義 嘅概念,例如點 同直線 等嘅概念喺歐幾里得嗰套幾何理論 當中係原始諗法,而唔係原始諗法嘅概念就要用原始諗法嚟定義,例如「兩條線嘅相交點」會用點以及直線呢兩個概念嚟定義;
公理 [e 5] :即係一啲描述原始諗法、被認為係不證自明 嘅陳述式,而且唔能夠由第啲公理嗰度推理 出嚟,例如「是但搵任何兩點,都有可能畫條通過呢兩點嘅直線」就係歐幾里得嗰套幾何理論嘅其中一條公理,即係歐幾里得認為呢句嘢好明顯,唔使證明都可以當係真確[21] ;
邏輯 上嘅定律;
數學家一般都希望一套幾何學理論所用嘅原始諗法同公理數量有咁少得咁少(可以睇埋奧坎剃刀 );喺有咗啲原始諗法同公理之後,數學家就會做數學證明 ,嘗試由公理同邏輯上嘅定律嗰度證明新嘅定理 ,最後呢啲公理同定理就形成一套幾何理論。喺廿一世紀,有唔少數學家仲喺度思考(例如)有冇方法可以用某啲被認公理嘅陳述式嗰度,推理出第啲被認為係公理嘅陳述式,諗住噉做可能幫到手建立一套用嘅公理數量更加少嘅幾何理論[22] [23] 。
碎形
喺數學上,碎形 [e 15] 係一類嘅幾何形狀,指隻形狀無論規模縮到幾細都好,都會具有仔細結構,好多碎形仲會具有自相似 (指一件物體同佢其中一部份相似 )嘅特性。
例如曲氏雪花 [e 16] 噉就係一隻好出名嘅碎形,有自相似特性,一塊曲氏雪花嘅整法 (簡化噉講)如下[32] [33] :
首先,攞住個等邊三角形 (三條邊一樣咁長、三隻內角都係 60° 嘅三角形);
同每條邊,做 以下步驟
將條邊分做三橛,三橛一樣咁長;
用中間嗰橛做底邊,畫個新嘅等邊三角形,呢個三角形要指向外;
將上一步入面攞嚟做底邊嗰條線剷走;
步驟 2 產生嗰啲新三角形,每個都攞嚟做步驟 1 同 2,同時忽略嗰啲剷走咗嘅底邊。
可以睇埋電腦科學 上講嘅遞歸 概念。想像將上面嘅過程無限 噉重複,就會出好似下面幅 gif 噉嘅情況。好似曲氏雪花噉嘅碎形有好多畀人覺得係得意嘅特徵-例如攞住塊真正[註 5] 嘅曲氏雪花,再慢慢噉望近啲,會發覺無論望到幾近,塊雪花都仲會有更加細嘅三角形(仔細結構),而且啲細結構同大結構相似 (自相似)[33] 。
碎形喺唔少自然現象度都可以睇到-可以睇吓雪花 [34] 同自然形態規律 。而且碎形畀好多人覺得好得意,所以仲有畀人應用落去建築設計 [35] 同演算法藝術 [36] 度。
幾何作圖
要研究幾何學,其中一樣重要工作係將啲幾何物體畫出嚟(幾何作圖 )。尺規作圖 [e 17] 係指齋靠間尺 (可以攞嚟畫直線 嘅架生[註 6] )同埋圓規 (可以攞嚟畫圓形嘅架生)嚟建構各種嘅幾何物體,途中唔准靠量角器 [37] 。
尺規作圖係幾何學史 上非常重要嘅一環:要研究幾何學,就要做到將啲幾何物體畫出嚟;廿世紀打前嘅幾何學研究者並冇電腦 呢樣現代架生,所以佢哋要(簡化講)整啲原始嘅間尺同圓規,仲要證明 到呢啲間尺同圓規真係畫到直線同圓形出嚟;而有咗畫直線同圓形嘅方法,佢哋就要靠呢兩樣嘢畫出更多唔同嘅幾何物體(尺規作圖),噉先至可以研究幾何學[38] [39] 。
例如係下面中間嗰幅圖,係用尺規作圖畫正六角形 (正六角形 = 六隻角完全相同大細嘅六角形):
首先畫一條夠長嘅直線;
以直線上嘅一點
O
{\displaystyle O}
做圓心,畫個圓形;
攞條直線同圓形
O
{\displaystyle O}
相交嗰兩點做兩個新圓心,畫兩個新嘅圓形;
用下圖嘅方法,喺直線同圓形
O
{\displaystyle O}
相交嗰兩點、新圓形同圓形
O
{\displaystyle O}
相交嘅點呢啲點之間畫直線,得出一個正六角形;
嚴格嘅幾何學上,仲會用方法證明上述嘅方法真係會畫到個正六角形(證明六角形嗰六隻角真係相等)[37] 。
遠古數學家冇量角器,要點齋靠間尺同圓規畫個正六角形 (隻隻角一樣咁大)呢? 遠古數學家冇量角器,要點齋靠間尺同圓規畫個正
六角形 (隻隻角一樣咁大)呢?
呢段動畫描述古希臘數學家歐幾里得 點樣齋靠間尺同圓規畫出正六角形。 呢段動畫描述古希臘數學家
歐幾里得 點樣齋靠間尺同圓規畫出正六角形。
齋靠間尺同圓規條線平分 隻角
自從廿世紀起,電腦 技術日益進步,啲人可以輕易噉靠電腦畫圖形。有關「點樣用電腦畫幾何物體」呢條問題,可以睇吓電腦圖像 同 Processing 等嘅課題[40] [41] 。
幾何學歷史悠久,閒閒哋有得追溯到去古希臘 。幾何學理論經歷過幾千年嘅發展,自然出咗唔少分枝領域:
其他領域
用坐標 嚟想像一個三角形 ;個三角形每隻角都有個坐標值。
以下係比較出名嘅幾何學子領域:
代數幾何 [e 21] 同解析幾何 [e 22] :代數幾何嘅核心諗頭係要將幾何物體睇做代數方程 嘅解[44] ;而解析幾何嘅核心諗頭就係用坐標 研究幾何學;結合呢兩套幾何學,唔同嘅幾何物體可以想像成唔同嘅方程式 [45] ,例如一條直線可以想像做
m
x
+
b
=
y
{\displaystyle mx+b=y}
m
x
+
b
−
y
=
0
{\displaystyle mx+b-y=0}
(代數方程),
當中
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
係條線啲點嘅坐標值(用坐標),
m
{\displaystyle m}
會係條線嘅斜率 ,而
b
{\displaystyle b}
會係條線同 Y 軸 相交嗰點嘅 Y 坐標。再想像圓形,一個圓形响呢套幾何學上可以諗做個形條邊上面嘅每一點
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(用坐標)都會滿足
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
−
r
2
=
0
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}-r^{2}=0}
(代數方程),
當中
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
係個圓心 嘅坐標值,而
r
{\displaystyle r}
係個圓形嘅半徑 有幾長-用日常用語講,圓形就係「條邊上面每點都離圓心一樣咁遠」嘅幾何物體。代數幾何同解析幾何好有實用價值-自然科學 同工程學 等領域分析物體嘅形狀同郁動嗰時,就好興用代數同坐標嘅做法,例子可以睇吓牛頓力學 同物理模擬 等嘅課題[46] [47] 。
微分幾何 [e 23] :用微積分 同線性代數 研究幾何學;喺好多現實應用當中,人都要計幾何物體嘅表面面積同體積,對於好似球體、錐體 同立方體 等簡單基本嘅幾何物體,佢哋嘅表面面積同體積可以用相對簡單嘅方程式計(睇返上面),但問題係現實世界嘅物體好少可會咁簡單,例子可以睇吓下圖噉嘅曲面 -微分幾何就可以解決呢啲問題。微分幾何用咗微積分嘅做法:簡化講,微積分技術可以將一條曲線想像成一條無限咁多條極細 直線組成嘅線,再用積分 方法計出條線下面包含嘅面積,進而幫手計塊曲面包嘅體積。呢種噉嘅技術喺好多自然科學同工程學應用上都好有用[48] 。
拓撲學 [e 24] :想像家陣攞住件幾何物體,將件物體撳扁、拉長或者扭曲,途中唔准封件物體上面啲窿(會通過件物體嘅先算窿)、唔准開新窿、唔准撕爛件物體、唔准要件物體經過自己;
啲噉嘅變化會改變件物體嘅某啲幾何特性,例如拉長就會改變件物體嘅長度,
但又有啲特性係做咗噉嘅變化都唔會變嘅-假想有笪空間
X
{\displaystyle X}
,
X
{\displaystyle X}
上面是但攞兩點
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
嚟睇,兩點之間都有路徑相通(睇埋路徑連通空間 嘅概念),噉無論
X
{\displaystyle X}
畀人點撳扁、拉長或者扭曲,佢都仲會有「上面是但攞兩點
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
嚟睇,兩點之間都有路徑相通」呢樣特性。簡化噉講,拓撲學就係想研究呢啲「無論件體點樣畀人撳扁、拉長或者扭曲,都唔會變」嘅幾何特性[49] [50] 。
離散幾何 [e 25] :研究離散嘅幾何物體;「離散」係「連續」嘅相反,
數學上講嘅連續 可以想像成「有得斬件斬到幾細都得」,例如想像解析幾何 下嘅一個 2D 圓形,分析者想設個圓形嘅圓心嘅坐標位置,個位置可以係
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
,又可以係
(
1.01
,
1
)
{\displaystyle (1.01,1)}
,又可以係
(
1.001
,
1
)
{\displaystyle (1.001,1)}
,又可以係
(
1.0001
,
1
)
{\displaystyle (1.0001,1)}
-想像中嗰笪空間可以係噉斬件,而且無論斬到幾細,都仲有得再斬細啲,噉嘅空間係連續嘅;
離散就唔同,想像家陣一位幾何學家想分析一拃波點樣疊埋一齊(上圖),當中假設啲波响成個過程裏面都唔會爛-即係話有得話疊波裏面「有 35 個波」但冇得話疊波裏面「有 35.5 個波」;研究呢啲離散幾何物體嘅,就係離散幾何[51] 。
數學性嘅化學 研究會用到離散幾何,因為原子 就係離散嘅(可以睇吓原子論 )[52] 。
科學應用
「數學係上帝 用嚟編寫宇宙 嘅語言。」[e 26]
—伽利略
幾何學專諗點樣分析空間,而自然科學 同工程學 好多時都會或多或少噉用到空間相關嘅概念。
物理學 好興將研究緊嘅物體當做幾何物體。
例如光學 噉,光學顧名思義專研究光 ,而幾何光學 往往會將光嘅前進想像成射線 ,並且用幾何學噉嘅方法分析光喺空間 入面嘅移動,當中好出名嘅反射定律 [e 27] (係倒影 同鏡像 嘅成因)就係噉。想像下面附圖 1:家陣有條光線 由
P
{\displaystyle {\text{P}}}
點通過空氣 (介質 1)前進,跟住射落去一塊鏡 嘅表面(塊鏡表面嘅玻璃 係介質 2),當條光線去到空氣同玻璃之間嘅位(
O
{\displaystyle {\text{O}}}
)嗰時,條光線嘅一部份會變方向射返過去空氣(介質 1)嗰邊,射向
Q
{\displaystyle {\text{Q}}}
嘅方向[53] ;根據反射定律,當一條光射落去一塊表面嗰度嗰陣,反射嘅光同入射嘅光會成特定嘅角度 ;想像一條光線
P
{\displaystyle {\text{P}}}
通過空氣射落去一塊鏡嗰度,射中塊鏡上面嘅點
O
{\displaystyle {\text{O}}}
;反射定律講嘅係,反射嘅光線
Q
{\displaystyle {\text{Q}}}
同條法線 [e 28] (指同塊鏡嘅表面成垂直 嘅線)會成角度
θ
r
{\displaystyle \theta _{r}}
,而且
θ
r
=
θ
i
{\displaystyle \theta _{r}=\theta _{i}}
,
當中
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
係
P
{\displaystyle {\text{P}}}
同法線成嘅角度;簡單講,即係「反射角等於入射角」-淨係呢度已經用咗線同角度等嘅幾何概念[54] [55] 。
附圖 1
附圖 1
喺實驗室 入面展示反射嘅現象;量角器 嘅量度清楚噉顯示 呢條定律講嘅嘢。 喺
實驗室 入面展示反射嘅現象;
量角器 嘅量度清楚噉顯示
θ
r
=
θ
i
{\displaystyle \theta _{r}=\theta _{i}}
呢條定律講嘅嘢。
折射 嘅展現;折射涉及一條光線介質改變(例如由通過空氣變成通過玻璃)嗰陣前進角度改變,而「角度會變幾多」可以用折射定律 描述。折射 嘅展現;折射涉及一條光線介質改變(例如由通過空氣變成通過玻璃)嗰陣前進角度改變,而「角度會變幾多」可以用
折射定律 描述。
除咗光學之外,仲可以睇吓力學 上對郁動 嘅分析或者電磁學 上對帶電荷 物體嘅郁動嘅分析。機械工程 等嘅工程學領域分析機械 啲機件 郁動嗰陣,亦都成日會將啲機件想像成幾何物體,會剖析啲機件之間嘅距離同角度,例子可以睇吓有關連桿機構 嘅思考[56] ,亦都可以睇吓結構工程 上成日用嘅結構分析 [57] [58] 。
15 世紀一幅圖畫;幅畫描繪歐洲 同阿拉伯 嘅學者一齊研究幾何學。
幾何學早喺公元前 2,000 年嗰陣嘅兩河流域文明 同古埃及 已經存在。當時嘅人已經識得觀察周圍環境,得知長度、角度同面積等嘅概念,仲識用呢啲概念嚟做測量 、建築施工 同天文學 等嘅工作,而且仲有寫文獻 記低同教授幾何學知識,例如嚟自公元前 1850 年嘅莫斯科數學紙草書 [e 32] (一份古埃及紙草 文獻)就有提供方程式計 3D 物體嘅體積[64] 。
古希臘 係幾何學嘅一個黃金時期:古希臘哲學家 畢達哥拉斯 [e 33] (公元前 580 - 500 年)證明 咗畢氏定理 ,呢條定理到咗廿一世紀初係人都識咁滯,而且仲成日畀人攞去用;屬於幾何學基礎之一(兼史上歷史最悠久嘅教科書 之一)嘅《幾何原本 》就係出於大約公元前 300 年嘅,而喺呢本書入面歐幾里得 引入咗公理等嘅概念,畀人指係確立咗幾何學嘅數學嚴謹性[65] ;除此之外,好出名嘅阿基米德 [e 34] 亦都做咗唔少幾何學方面嘅研究,例如用當時前所未有咁高嘅準確度計出圓周率 嘅確切數值呀噉[66] 。同期嘅印度 亦都有出到唔少有睇頭嘅幾何學研究[67] 。
中世紀 嗰陣嘅伊斯蘭世界 有對幾何學作出咗貢獻(睇埋伊斯蘭黃金時期 ),尤其係代數幾何 [68] 。例子可以睇吓波斯人 數學家奧瑪開儼 [e 35] 對一元三次方程 同四邊形 做嘅研究噉[69] 。
17 世紀嘅歐洲 (睇埋啟蒙時期 )出到好多重要發現,當中最出名嘅要數法國 數學家笛卡兒 [e 36] 同埋費馬 [e 37] 發展出解析幾何 -解析幾何用坐標分析幾何物體,畀人指係幫打後嘅微積分 同精確物理學 舖咗路[70] 。
非歐幾里得幾何 嘅諗頭係喺 19 世紀出嘅。呢套幾何理論框架可以話係根本噉改變咗世人對幾何學嘅諗法,挑戰咗當時嘅好多根本假設-睇返上面講到,非歐幾何 挑戰咗歐幾里得嗰幾條個個都覺得係啱嘅公理[71] 。
到咗廿一世紀初,幾何學已經成為咗科學 同工程學 工作當中不可或缺嘅知識:包括力學 、光學 、化學 (可以睇吓對分子 結構嘅研究[72] )、建築設計 、機械工程 同埋電腦圖像 等咁多唔同領域嘅工作,都會用到幾何學概念。
喺數學上,公理 係指「唔使證明 、可以攞嚟證明第啲諗頭」嘅諗頭。 簡化噉講,一條線嘅曲率可以由「能夠貼切嗰條線嘅圓形 嘅直徑 」嚟反映,而對應一條完美直線嘅圓形直徑會係無限大 。 嚴格啲講,呢種想像法啱唔嗮,不過呢種做法會引致嘅誤差微細到用肉眼根本睇唔到。詳情可以睇吓相對論 方面嘅內容。 人喺現實整嘅「曲氏雪花」,好多時因為人力物力上嘅限制做唔到無限噉重複,唔算真正嘅曲氏雪花。
對文明 早期嘅人嚟講,要檢驗一把間尺「夠唔夠直」,可以攞條繩 再搵兩個人由兩邊用力拉條繩-條繩會成直線。
篇文用咗嘅行話 、專有名詞 或者名句,英文 (或者其他外語)版本如下:
ruler-and-compass construction
"Mathematics is the language in which God has written the universe."
"Without Mathematics There is No Art."
波斯文 :عمر خیّام,羅馬字 係 Omar Khayyam 篇文引用咗以下呢啲文獻 同網頁 :
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