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函數極限(Limit of Function)係數學分析同微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面,定義函數極限係需要用到包圍點同埋技巧。
首先需要假設係實數嘅子集。
將定為任意一點,畀任何一個,如果存在一點,同時,符合。
咁呢點就係叫做嘅包圍點(Cluster Point)。
如果用鄰區(neighborhoods)嘅角度嚟定義包圍點;
假設有一點,每一個嘅鄰區(delta-neighborhoods),入面都會有一點係屬於嘅,係唔等於。咁就係嘅包圍點。
如果係嘅包圍點,咁就一定有一個係嘅數列係趨向呢點,同時所有嘅項都符合,即係。反之亦然,「」。
首先需要假設係實數嘅子集,同時係嘅包圍點。
如果有一個函數同一點實數,同下面呢件事成立;
畀任何嘅,佢都會有一個對應嘅,令到喺入面嘅點符合,而佢使到。
咁樣函數就係趨向(Converge)實數。即係。
一般就叫,做係點嘅極限(Limits of at )。
或者會話:「當接近嗰時,會趨向。」,呢句嘢會寫做。
技巧( Technique)係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面,最基本,同時對於新學習數學嘅人嚟講,係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前,需要用到一個草稿技巧,去搵出所需要嘅。係一定需要一個先草稿,後證明嘅方法,呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用技巧去證明其他函數極限嘅定理,會被稱為用硬功夫嘅方法。
例子:
證明。
畀任何,將。
因為符合,當得知,
計算,。
因為得知,所以。
假設有一個函數。如果有一點包圍點,咁佢只有一個係點嘅極限。
證明:
假設有兩點同都符合極限嘅定義。
咁畀任何嘅,
都會有一個,令到符合,令到;
同時,都會有一個,令到符合,令到。
將,令到符合。
再利用三角形不等式,
函數同數列有一個重要嘅連繫,而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢,就係函數數列要求(Sequential Criterion for Limits)。呢個定理,可以將數列嘅全部特性,主要係數列極限嘅特性,轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理,會叫做利用軟功夫嘅方法。
定理
假設有一個函數同時係嘅包圍點。咁以下兩句係等價「」:
證明:
假設成立,同時係入面嘅數列,並且而所有嘅都符合。
畀任何一個任意嘅。
根據函數極限嘅定義,會有一個,令到喺入面嘅一點符合,使到。
根據數列極限嘅定義,會有一個,使到第項符合。
因此,將大過第項放入函數,得知。
所以。
假設上點唔啱,即係。
咁樣就會有一個-鄰區,搞到揀任何一個嘅-鄰區,都會有一點係又同時。換句話講,即係喺-鄰區入面,放咗入函數之後對應嗰點,係會唔係對應嘅-鄰區入面。
因此得出,所有嘅,嘅-鄰區入面嘅會符合同,
但係所有都符合。
所以喺入面嘅數列係趨向,但係唔趨向。
利用否定證明嘅概念,得知係正確。
因為有咗函數數列要求,喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。
假設有個實子集同一個函數。假設係嘅包圍點。
如果存在一個係嘅鄰區,同埋一個數,對所有嘅符合,。
咁會話,函數係嘅鄰區被綁定。(f is bounded on a neighborhood of c)
假設有個實子集同一個函數。
如果係趨向呢點,咁就會被綁係一啲嘅嘅鄰區入面。
證明:
證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。
基本上,同數列嘅法則係一樣。
假設有個實子集,函數、,重有一個實數同係包圍點。如果,,以下嘅等式成立:
證明:
利用軟功夫,只需要將變成任何一條喺入面嘅數列,符合,而。
因為函數數列要求,同成立。
之後利用數列極限嘅計算法,就會得出上面結果。
利用硬功夫嘅方法,因為定義得知,對應任何;
都會有,令到符合,使到符合。
都會有,令到符合,使到符合。
設。計算:
設。計算:
證明三,需要用到草稿嘅技巧。
根據定義,對應任何;
都會有,令到符合,使到符合。
都會有,令到符合,使到符合。
想求出嘅數值,所以要計下:問題出現咗喺上面,因為佢係一個變數,唔知佢幾時係大,幾時係細。但係如果設,根據綁定性質嘅證明,,就可以得知有一個符合。
如果將,咁。
得出,。咁,所以就寫得出個證明。
假設同。
設,根據綁定性質,可以得知有一個符合。
設同埋。
都會有,令到符合,使到符合。
都會有,令到符合,使到符合。
計算;
假設係一個常數函數,即係。咁利用上面(3)就可以得出(4)。
證明五,需要證明「如果,而所有嘅,,同時,咁。」係啱嘅話呢,利用三就可以證明出五。先做草稿:
計算:而家想搵一個係使到。
因為,設,都一定會有一個,符合,使到
所以,。
姐係要將。咁就可以寫嘅證明。
設,都會有一個,令到成立,使到。
利用草稿所寫嘅嘢,得知。
畀任何一個,咁有一個,令到成立,使到。
設,咁就會有一個對應嘅,令到成立,使到
因上面嘅嘢可以得知以下都係啱:
假設有個實子集,函數,係包圍點。
如果所有嘅符合同時,咁。
證明:
都係利用軟功夫,將數列嘅排序定理引用過嚟。
假設有個實子集,函數,係包圍點。
如果所有嘅符合同時,咁。
有趨向,就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求(Divergence Criteria)。
首先需要假設係實數嘅子集,同時係嘅包圍點,而有一個函數。
證明:
(1) 已經從上面證明咗。
(2) 假設有一條數列趨向,但係喺入面唔趨向一點。
咁即係畀任何一個同,同埋都會成立。
所以唔符合極限嘅定義。
係唔存在喺實數入面。
將函數極限嘅定義改一改少少,咁就會有左右趨向嘅概念。
假設有個實子集,同時有一個函數。
如果係嘅包圍點,同時有一點符合:
畀任何嘅,都會有一個對應嘅,令到所有嘅符合,令到符合。
咁樣就係喺嘅右極限(Right-hand Limit of at )。
一般會寫做,或者。
如果係嘅包圍點,同時有一點符合:
畀任何嘅,都會有一個對應嘅,令到所有嘅符合,令到符合。
咁樣就係係嘅左極限(Left-hand Limit of at )。
一般會寫做,或者。
注意:左極限同右極限可以同時存在,又可以兩者都唔相等。左極限可以存在,但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限,咁。
因為有極限,所有就會有數列要求嘅出現。
右極限版本:
假設有一個函數同時係嘅包圍點。咁以下兩句係等價「」:
左極限版本:
假設有一個函數同時係嘅包圍點。咁以下兩句係等價「」:
趨向無限有兩個定義,一個就係嘅數值趨向無限。例子有:。或者係當數值趨向無限時,嘅數值會趨向一點。例子有:。
無窮極限(Infinite Limits)就係第一種趨向無限嘅極限。
假設有一個實子集,函數,同時係嘅包圍點。
如果畀任何,一定存在一個,令到所有嘅符合,到會令到嘅話;
當趨向,,嘅極限係正無限(f tends to as )。
一般會寫成。
如果畀任何,一定存在一個,令到所有嘅符合,到會令到嘅話呢;
當趨向,,嘅極限係負無限(f tends to as )。
一般會寫成。
證明
畀任何一個,設。
假設,咁樣符合條件嘅,其實可以利用技巧搵出嚟。
假設有一個實子集,函數,同時係嘅包圍點。
假設任何嘅同時,。
如果,咁。
如果,咁。
假設有一個實子集,函數,同時係嘅包圍點。
如果畀任何,一定存在一個,令到所有嘅符合,到會令到(對應係)嘅話;
當趨向,,嘅極限係正無限(f tends to as )。
一般會寫成,(對應嘅係)。
趨向無限(Limits at Infinity)係第二種趨向無限嘅極限。
定義
假設有一個實子集,函數。
假設對應有啲,。
畀任何,一定有一個對應任何,使到嘅話;
係趨向無限時嘅極限(limit of as )。
一般會寫做或者。
函數數列要求
假設有一個實子集,函數。
假設對應有啲,,咁以下兩句係等價:
將上面兩者夾埋,就會得出下面嘅定義。
定義
假設有一個實子集,函數。
假設對應有啲,。
畀任何,一定有一個對應任何,使到嘅話(對應係);
喺趨向無限時嘅極限係無窮(limit of as )。
一般會寫做或者。(對應係)
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