布巴克爾多項式

布巴克爾多項式

在數學中，布巴克爾 多項式 ^[1]有兩種常見定義。第一種是 :

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&{}=1\\B_{1}(x)&{}=x\\B_{2}(x)&{}=x^{2}+2\\B_{3}(x)&{}=x^{3}+x\\B_{4}(x)&{}=x^{4}-2\\B_{5}(x)&{}=x^{5}-x^{3}-3x\\B_{6}(x)&{}=x^{6}-2x^{4}-3x^{2}+2\\B_{7}(x)&{}=x^{7}-3x^{5}-2x^{3}+5x\\B_{8}(x)&{}=x^{8}-4x^{6}+8x^{2}-2\\B_{9}(x)&{}=x^{9}-5x^{7}+3x^{5}+10x^{3}-7x\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

有時也會使用另一種定義,可以通過遞歸的方式進行定義。首先，規定前三 個布巴克爾多項式為：

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x,\\B_{2}(x)&=x^{2}+2,\\\end{aligned}}}$

然後運用下面的遞推關係得到更高階的多項式。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}(x)&=xB_{m-1}(x)-B_{m-2}(x)\quad {\text{, }}m>2.\end{aligned}}}$

布巴克爾 多項式也可以用母函數表示 :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {B}}_{n}(x)t^{n}={\frac {1+3t^{2}}{1-t(t-x)}}.\,\!}$

產生了許多整數序列在On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)^[2] e PlanetMath （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

生成解

布巴克爾 多項式的通解為 :

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n-4p}{n-p}}{\binom {n-p}{p}}(-1)^{p}x^{n-2p}}$

微分操作代表

布巴克爾 多項式亦可記為 :

${\displaystyle (x^{2}-1)(3nx^{2}+n-2)y{''}+3x(nx^{2}+3n-2)y{'}-n(3n^{2}x^{2}+n^{2}-6n+8)y=0\,}$

用途

布巴克爾 多項式的 用途:

• 低溫^[3]
• 生物學^[4]
• 動態系統^[5]
• 非線性系統^{[6] [7]}
• 近似論^[8]
• 熱力學 ^[9][10][11]
• 力學 ^[12]
• 水文地理學 ^[13]
• 分子動態 ^[14]
• 基本數學 ^[15]
• 熱量測定 ^[16]
• 生物物理學 ^[17]
• 光電學 ^[18]
• 複雜分析 ^[19]
• 矩陣分析^[20]
• 加密^[21]
• 代數^[22]