共變異數交叉

共變異數交叉（Covariance intersection）是在卡爾曼濾波中，二個狀態變數之間不確定其共變異數時，合併其估測值的算法^[1][2][3][4]。

規格

資訊項a及b已知，要融合成資訊項c。已知a和b的平均數/共變異數 ${\displaystyle {\hat {a}}}$, ${\displaystyle A}$及${\displaystyle {\hat {b}}}$, ${\displaystyle B}$，但是交叉相關未知。共變異數交叉可以更新c的平均數/共變異數為

${\displaystyle C^{-1}=\omega A^{-1}+(1-\omega )B^{-1}\,,}$

${\displaystyle {\hat {c}}=C(\omega A^{-1}{\hat {a}}+(1-\omega )B^{-1}{\hat {b}})\,.}$

其中ω是計算讓特定範數（例如logdet或跡）最小化。若是較高維度問題需要求解最佳化問題，不過在較低維度下有解析解^[5]。共變異數交叉可以用來取代傳統的卡爾曼更新方程式，確定所得的估測值是保守的，不論二個估測值之間的相關如何，而共變異數會依選定的範而出現嚴格的未遞增^[1][6]。

優點

根據最近的研究論文^[7]及^[8]，共變異數交叉有以下的優點：

1. 避免識別以及計算交叉共變異數
2. 可以獲得一致的融合估測值，也可以得到無發散的濾波器
3. 融合估測值的準確性比其他方式要好
4. 對實際的估測誤差變異有常見的上界，且對未知的相關性具有強健性。

發展

前共變異數交叉

一般認為在許多感測器整合問題中，都存在著未知相關性的情形。忽略未知相關性的後果可能會讓性能惡化甚至發散。因此這類問題在幾十年來吸引了研究者的關注。不過因為未知相關性融合問題複雜、未知的特性，要找到一個令人滿意的架構並不容易。若直接省略相關性，即為樸素融合（Naive fusion）^[9]，會讓濾波器發散。了為補償這類的發散，正規的次最佳化作法是人為的增加系統雜訊，不過這種啟發法需要大量的專業知識，而且會破壞卡爾曼濾波的完整性^[10]。

參考資料

1. Uhlmann, Jeffrey. Dynamic Map Building and Localization: New Theoretical Foundations (Ph.D.論文). University of Oxford. 1995.
2. Marques, Sonia. Covariance intersection algorithm for formation flying spacecraft navigation from RF measurements (PDF). 4 ISLAB workshop. 12 November 2007 [2018-12-02]. （原始內容 (PDF)存檔於2020-08-14）.
3. Julier, Simon J.; Uhlmann, Jeffrey K. Using covariance intersection for SLAM. Robotics and Autonomous Systems. 2007, 55 (7): 3–20. CiteSeerX 10.1.1.106.8515 . doi:10.1016/j.robot.2006.06.011.
4. Chen, Lingji; Arambel, Pablo O.; Mehra, Raman K. Fusion under unknown correlation - Covariance intersection as a special case (PDF). International Conference on Information Fusion 2002. 2002 [2018-12-02]. （原始內容 (PDF)存檔於2013-11-09）.
5. Reinhardt, Marc; Noack, Benjamin; Hanebeck, Uwe D. Closed-form Optimization of Covariance Intersection for Low-dimensional Matrices (PDF). International Conference on Information Fusion 2012. 2012 [2018-12-02]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-03）.
6. Uhlmann, Jeffrey. Covariance Consistency Methods for Fault-Tolerant Distributed Data Fusion 4. Elsevier: 201–215. 2003.
7. Wangyan Li, Zidong Wang, Guoliang Wei, Lifeng Ma, Jun Hu, and Derui Ding. "A Survey on Multi-Sensor Fusion and Consensus Filtering for Sensor Networks." Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2015, Article ID 683701, 12 pages, 2015. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
8. Deng, Zili; Zhang, Peng; Qi, Wenjuan; Liu, Jinfang; Gao, Yuan. Sequential covariance intersection fusion Kalman filter. Information Sciences. 2012-04-15, 189: 293–309 [2018-12-02]. doi:10.1016/j.ins.2011.11.038. （原始內容存檔於2020-08-14）.
9. Chang, K.C.; Chong, Chee-Yee; Mori, S. Analytical and Computational Evaluation of Scalable Distributed Fusion Algorithms. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2010-10-01, 46 (4): 2022–2034. ISSN 0018-9251. doi:10.1109/TAES.2010.5595611.
10. Niehsen, W. Information fusion based on fast covariance intersection filtering. Proceedings of the Fifth International Conference on Information Fusion, 2002. 2002-07-01, 2: 901–904 vol.2. ISBN 0-9721844-1-4. doi:10.1109/ICIF.2002.1020907.