全純域

在數學的多複變函數論中，全純域是在下述意義下為極大的區域：在其上存在一個全純函數，使得不能延拓至更大的區域上。

定義中的集合

正式而言，在n維複空間${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$中的開集${\displaystyle \Omega }$稱為全純域，如果不存在非空開集${\displaystyle U\subset \Omega }$和${\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}$，其中${\displaystyle V}$是連通的， ${\displaystyle V\not \subset \Omega }$，以及${\displaystyle U\subset \Omega \cap V}$，使得對在${\displaystyle \Omega }$上的每個全純函數${\displaystyle f}$，存在一個在${\displaystyle V}$上的全純函數${\displaystyle g}$，在${\displaystyle U}$上有${\displaystyle f=g}$。

當n = 1時，每個開集都是全純域。但是，當n ≥ 2時，哈托格斯引理（英語：Hartogs lemma）指出存在不是全純域的區域。

等價條件

對一個區域${\displaystyle \Omega }$以下條件等價：

1. ${\displaystyle \Omega }$是全純域。
2. ${\displaystyle \Omega }$是全純凸（英語：holomorphically convex）的。
3. ${\displaystyle \Omega }$是偽凸（英語：pseudoconvex）的。
4. ${\displaystyle \Omega }$是萊維凸——對每個解析緊曲面列${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$，使得${\displaystyle S_{n}\rightarrow S}$及${\displaystyle \partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$對某集合${\displaystyle \Gamma }$，我們有${\displaystyle S\subseteq \Omega }$（${\displaystyle \partial \Omega }$ 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。）
5. ${\displaystyle \Omega }$有局部萊維性質——對每個點${\displaystyle x\in \partial \Omega }$，存在${\displaystyle x}$的鄰域${\displaystyle U}$，及在${\displaystyle U\cap \Omega }$上全純的${\displaystyle f}$，使得${\displaystyle f}$不能延拓到${\displaystyle x}$的任何鄰域上。

其中關係${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}$是標準結果。（${\displaystyle 1\Rightarrow 3}$見岡引理。）主要的困難在證明${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$，即從只是局部定義的不可延拓函數，構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為萊維問題（英語：Levi problem），以Eugenio Elia Levi（英語：Eugenio Elia Levi）命名。最先解出問題的是岡潔，之後是拉爾斯·霍爾曼德爾，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（${\displaystyle {\bar {\partial }}}$問題的一個結果）。

性質

• 若${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$是全純域，則其交${\displaystyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$也是全純域。
• 若${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$是全純域的上升列，則其併${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$也是全純域。（見本克－施泰因定理（英語：Behnke-Stein theorem））
• 兩個全純域${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$的積${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}}$是全純域。
• 第一庫贊問題（英語：Cousin problems）在全純域內可解；若再加上一些拓撲假設，第二庫贊問題也可解。

參見

• 本克－施泰因定理（英語：Behnke-Stein theorem）
• 萊維偽凸（英語：Levi pseudoconvex）
• 施泰因流形（英語：Stein manifold）

參考

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992