YBC 7289

YBC 7289是一片古巴比倫黏土板，其上以六十進制記載了單位正方形的對角線長√2的準確估計值，所以備受關注。這個六十進制近似數換算成十進制相當於估算√2到六位有效數字，這個近似數被稱為「古典世界中...目前已知估算精度最高的近似數」。^[1] 這片黏土板據信是一位南美索不達米亞地區的學生的作品，作成的時間大概在公元前18世紀到公元前17世紀，被J·P·摩根連同其它一些古巴比倫黏土板捐給耶魯大學收藏，「YBC」是收納這件文物的耶魯-巴比倫典藏庫（英語：Yale Babylonian Collection）（英語：Yale Babylonian Collection）的名字縮寫，「7289」是這件文物在其中的編號。

YBC 7289

內容

黏土板上記有一個畫著其兩條對角線的正方形，正方形的一側被標上了六十進制數字「30」，對角線被標上兩個六十進制數字：

1. 第一個六十進制數${\textstyle 1;24,51,10}$，轉換為十進制表示是${\textstyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}\approx 1.414213}$，這個數的估算誤差小於兩百萬分之一^[2]；
2. 第二個六十進制數是${\textstyle 42;25,35}$，即十進制的${\textstyle 42+{\frac {25}{60}}+{\frac {35}{60^{2}}}=42.426}$。這個數是上一給定數乘以30的積，即是對邊長為30的正方形的對角線長的估算^[2]。

因為巴比倫的六十進制計數法在進位方面並不明確，另一種解釋是方形邊長是${\textstyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}}$。這麼解釋的話，對角線上的數是${\textstyle {\frac {30547}{43200}}=0.70711}$，即${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$的近似估計值，估計的誤差也比二百萬分一還小。^[2]

大衛·福勒（英語：David Fowler (mathematician)）和埃莉諾·羅賓遜（英語：Eleanor Robson）如此寫道，「這樣我們就有了一個藉幾何解釋的倒數對（英語：a reciprocal pair of numbers）...」。他們指出，儘管這種解釋在和倒數的關鍵性^{[註 1]}聯繫起來後，很吸引人，但仍應謹慎對待這一說法。^[2]

黏土板反面被部分抹掉了，但羅賓遜認為它記載了類似的題目，題目有關一個邊長和對角線長為畢氏三元數${\displaystyle (3,4,5)}$的矩形。^[3]

呈現形式

儘管YBC 7289經常以沿著對角線的方向示人^{[註 2]} ，巴比倫人畫正方形時約定俗成，各邊水平豎直繪製，帶有數字的邊在圖頂部^[4]。這塊小黏土板渾圓的形狀和上面的大字體具有演算草稿的特徵，這種泥板特徵很典型，是被用來協助演算困難問題的，學生在使用時可握於掌中^[1][2]。

這名學生好像是從另一塊黏土板上抄來了√2的六十進制值，但這個逐步的演算過程見於另一塊巴比倫黏土板BM 96957 + VAT 6598上^[2]。

在1945年，奧托·紐格伯爾和亞伯拉罕·薩克斯（英語：Abraham Sachs）最早發現泥板的數學意義^[2][5]。「這塊泥板呈現給我們古典時代全世界最高的計算精度」，精度相當於六位十進制有效數字。^[1]其它黏土板有關於計算六邊形和七邊形面積的，用到了√3這種更複雜的代數數的估算值。^[2]這樣精確的一個√3的估計可解釋，古埃及人在建設金字塔時計算各維度的尺寸時為何這麼準確。YBC 7289上所寫的數字精度更高，所以很明確的是上記的各種代數數的近似值是一種尋常計算的結果，而不只是一個估計值^[6]。

托勒密在《天文學大成》一書中亦應用了巴比倫人對√2的六十進制${\displaystyle 1;24,51,10}$估計值^[7][8]。托勒密沒說他的這個值是從哪裡來的，也許這個值當時已經是人盡皆知了^[7]。

黏土板的發掘和策展

現在已經無從考證YBC 7289從美索不達米亞的何處而來，但它的形狀和書寫風格像是美索不達米亞南部的，其作成時間作成的時間在公元前18世紀到公元前16世紀間^[1][2]。

1909年，耶魯大學從巴比倫黏土板藏家J·P·摩根處獲捐這些文物，從他宅邸運來的這些遺贈組成了耶魯巴比倫典藏^[1][9]。 耶魯的文化遺產保育學院已經為泥板建立了數字模型，可用於3D列印^[9][10][11]。

來源

1. Beery, Janet L.; Swetz, Frank J., The best known old Babylonian tablet?, Convergence (Mathematical Association of America), July 2012, doi:10.4169/loci003889
2. Fowler, David; Robson, Eleanor, Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context, Historia Mathematica, 1998, 25 (4): 366–378, MR 1662496, doi:10.1006/hmat.1998.2209
3. Robson, Eleanor, Mesopotamian Mathematics, Katz, Victor J. (編), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press: 143, 2007, ISBN 978-3-642-61910-6
4. Friberg, Jöran, A remarkable collection of Babylonian mathematical texts, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, New York: 211, 2007, ISBN 978-0-387-34543-7, MR 2333050, doi:10.1007/978-0-387-48977-3
5. Neugebauer, O.; Sachs, A. J., Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, New Haven, Conn.: 43, 1945, MR 0016320
6. Rudman, Peter S., How mathematics happened: the first 50,000 years, Prometheus Books, Amherst, NY: 241, 2007, ISBN 978-1-59102-477-4, MR 2329364
7. Neugebauer, O., A History of Ancient Mathematical Astronomy, Part One, Springer-Verlag, New York-Heidelberg: 22–23, 1975, ISBN 978-3-642-61910-6, MR 0465672
8. Pedersen, Olaf, Jones, Alexander , 編, A Survey of the Almagest, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer: 57, 2011, ISBN 978-0-387-84826-6
9. Lynch, Patrick, A 3,800-year journey from classroom to classroom, Yale News, 2016-04-11 [2017-10-25], （原始內容存檔於2017-03-31）
10. A 3D-print of ancient history: one of the most famous mathematical texts from Mesopotamia, Yale Institute for the Preservation of Cultural Heritage, 2016-01-16 [2017-10-25], （原始內容存檔於2017-10-17）
11. Kwan, Alistair. Mesopotamian tablet YBC 7289. University of Auckland. 2019-04-20. doi:10.17608/k6.auckland.6114425.v1.

註釋

1. 巴比倫算術中並無除法，除法運算利用倒數表和乘法
2. 如同上文附圖中所示。

參見

• 普林頓 322