H-infinity控制

H_∞（H-infinity）控制法是控制理論中用來設計控制器，可以達到穩定性，並且可以保證性能的設計方式。要使用H_∞方法，控制器的設計者需將控制問題表示為數學最佳化問題，並且找到使最佳化成立的控制器。

H_∞較傳統控制技術好的優點是可以應用在包括多個變數，各頻道之間有互相耦合的問題，而H_∞的缺點是其因為技巧以及其中的數學，若要成功的應用，需要對需控制的系統有很好的建模。很重要的是所得的控制器只是在規定的成本函數下是最佳的，若用一般評估控制器性能方式來評比（例如整定時間、使用能量等），不一定是最佳的。而且像飽和之類的非線性特性也很不好處理。H_∞是在1970年代末及1980年代初由喬治·贊姆斯（英語：George Zames）（靈敏度最小化、sensitivity minimization）^[1]、J. William Helton（寬帶匹配、broadband matching）^[2]及Allen Tannenbaum（英語：Allen Tannenbaum）（增益裕度最佳化、gain margin optimization）^[3]等人提出。

H_∞控制的名稱是因為最佳化所在的數學空間：H_∞是由在複平面開放右半邊Re(s) > 0 內解析及有界的矩陣函數形成的哈代空間。the H_∞模是函數在此空間內的最大單一值。（可以解釋為在不同頻率、不同方向下的最大增益，若針對SISO系統，就是頻率響應的最大值）。H_∞技術可以用來使擾動對閉迴路的影響最小化，依照問題的陳述方式，影響可以用穩定性或是性能來表示。

同時要針對性能強健性以及穩定性強健性進行最佳化很不容易。有一個比較類似的作法是H_∞迴路整形，可以讓控制器的設計者應用經典的迴路整形概念到多變數的頻率響應中，以得到性能強健性，再在系統頻寬附近再微調響應，讓穩定性強健性也可以最佳化。

目前已有可以合成H_∞控制器的商業軟體。

問題敘述

首先，處理問題時，會用以下的標準組態來進行：

受控體P有二個輸入，外來輸入w包括了參考信號以及干擾，以及控制變數u。有二個輸出，誤差信號z是希望可以最小化的值，以及用來控制系統的測量變量v。在方塊K中會利用v來計算控制變數u。注意以上的P和K是矩陣，其餘的都是向量。

若配合公式，系統為

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

因此可以用下式表示z對w的相依性：

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

稱為下線性分式轉換（lower linear fractional transformation），${\displaystyle F_{\ell }}$定義為（其下標表示「較低的」）

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

因此${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$控制設計的目標是找到控制器${\displaystyle \mathbf {K} }$使用${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$依照${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$計算時有最小值。相同的定義也可以用在${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$控制器設計。傳遞函數矩陣${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$的無限模定義為：

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

其中${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$是矩陣${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$的最大奇異值（英語：singular value）。

閉迴路控制器可以達到的H_∞模主要和D₁₁有關（系統的表示方式為(A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁₁, D₁₂, D₂₂, D₂₁)）。有以下幾種方式可以設計H_∞控制器：

• 針對閉迴路進行Youla-Kucera參數化，但結果常常會得到非常高階數的控制器。
• 以Riccati方程為基礎的作法，要求解二個Riccati方程來找到控制器，不過需要較多簡化的假設。
• 以最佳化為基礎的Riccati方程重整，會用到線性矩陣不等式，但需要的假設較少。

相關條目

• 哈代空間
• H square
• H-infinity迴路整形
• 線性平方高斯控制（LQG）
• 羅森布魯克系統矩陣

參考資料

1. Zames, George. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses. IEEE Trans. Automatic Control. 1981, 26 (2): 301–320. doi:10.1109/tac.1981.1102603.
2. Helton, J. William. Orbit structure of the Mobius transformation semigroup action on H-infinity (broadband matching). Adv. Math. Suppl. Stud. 1978, 3: 129–197.
3. Tannenbaum, Allen. Feedback stabilization of linear dynamical plants with uncertainty in the gain factor. International Journal of Control. 1980, 32 (1): 1–16. doi:10.1080/00207178008922838.

參考文獻

• Barbu, V.; Sritharan, S. S., H-infinity Control of Fluid Dynamics (PDF), Proceedings of the Royal Society A, 1998, 545: 3009–3033 [2017-08-31], doi:10.1098/rspa.1998.0289, （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03）.

• Doyle, John; Francis, Bruce; Tannenbaum, Allen, Feedback Control Theory, MacMillan, 1992.

• Green, M.; Limebeer, D., Linear Robust Control, Prentice Hall, 1995.

• Simon, Dan, Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, Wiley, 2006 [2017-08-31], （原始內容存檔於2010-12-30）.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian, Multivariable Feedback Control: Analysis and Design, Wiley, 1996, ISBN 0-471-94277-4.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian, Multivariable Feedback Control: Analysis and Design 2nd, Wiley, 2005 [2017-08-31], ISBN 0-470-01167-X, （原始內容存檔於2016-11-26）.