梅滕斯猜想

梅滕斯猜想是數論中的一個猜想，是有關數論中梅滕斯函數上下界的猜想，由湯姆斯·斯蒂爾吉斯在一封於1885年寫給夏爾·埃爾米特與弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。這一猜想如果成立的話可以推出黎曼猜想，不過已被安德魯·奧德里茲科（英語：Andrew Odlyzko）與赫爾曼·特里爾（英語：Herman te Riele）於1985年證否。

圖示為梅滕斯函數的前10000項與默滕斯猜想中的界限${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後，猜想${\displaystyle M(n)}$的絕對值恆小於${\displaystyle {\sqrt {n}}}$，此猜想被安德魯·奧德里茲科（Andrew Odlyzko）與赫爾曼·特里爾（Herman te Riele）於1985年證否

定義

數論中，有梅滕斯函數

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

其中，${\displaystyle \mu (k)}$表示默比烏斯函數。則梅滕斯猜想是指，對所有${\displaystyle n>1}$，有

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,}$

猜想的證否

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是${\displaystyle m(n)\equiv M(n)/{\sqrt {n}}}$有界，但其結果沒有發表^[1]（若用${\displaystyle m(n)}$的方式表示，梅滕斯猜想是指${\displaystyle -1<m(n)<1}$）

安德魯·奧德里茲科（英語：Andrew Odlyzko）與赫爾曼·特里爾（英語：Herman te Riele）在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是LLL格縮減算法（英語：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm）^[2][3]：

${\displaystyle \liminf ~m(n)<-1.009\quad }$ and ${\displaystyle \quad \limsup ~m(n)>1.06~}$

之後也證實了第一個反例小於 ${\displaystyle ~e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}~}$^[4]，大於10^16[5]，後來的上限已降到${\displaystyle ~e^{1.59\times 10^{40}}~}$^[6]或近似${\displaystyle ~10^{6.91\times 10^{39}}~,}$，但還沒找到確切的反例數值。

參考資料

1. Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (編). The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics. New York, NY: 施普林格科學+商業媒體. 2007: 69. ISBN 978-0-387-72125-5. Zbl 1132.11047.
2. Odlyzko & te Riele (1985)
3. Sandor et al (2006) pp.188–189
4. Pintz (1987)
5. Hurst, Greg. Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture. 2016. arXiv:1610.08551  [math.NT].
6. Kotnik and Te Riele (2006)

參考文獻

• T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture Revisited^{[永久失效連結]}", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
• T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
• F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2012-09-08], ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR783538, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-12）
• Stieltjes, T. J., Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79, Baillaud, B.; Bourget, H. (編), Correspondance d’Hermite et Stieltjes, Paris: Gauthier—Villars: 160–164, 1905
• 埃里克·韋斯坦因. Mertens conjecture. MathWorld.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (編), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag: 187–189, 2006, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
• Pintz, J. An effective disproof of the Mertens conjecture (PDF). Astérisque. 1987,. 147–148: 325–333 [2021-10-16]. Zbl 0623.10031. （原始內容存檔 (PDF)於2021-04-15）.