黑林格-特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。

敘述

設${\displaystyle {\mathcal {H}}}$為希爾伯特空間，${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$是處處定義的對稱線性算子，即對任意${\displaystyle x,\,y\in {\mathcal {H}}}$都有等式

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }$。

那麼，${\displaystyle T}$有界（因此也是連續）。

證明

從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$趨於0，${\displaystyle y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}}$，那麼${\displaystyle y=0}$。因為內積在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上連續，故得

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,y\rangle &=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle \\&=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle \\&=\langle 0,Ty\rangle \\&=0\end{aligned}}}$

所以${\displaystyle y=0}$。

推論

• 任何對稱且在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上處處定義的算子是自伴算子。
• 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

物理結果

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$，即${\displaystyle \mathbb {R} }$上平方可積函數空間，能量算符${\displaystyle H}$定義為（設其單位選取使得${\displaystyle \hbar =m=\omega =1}$）

${\displaystyle [Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\mbox{d}}^{2}}{{\mbox{d}}x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).}$

這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$上定義。

參考

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)