黑體輻射本領

黑體輻射本領由克希荷夫（G. R. Kirchhoff）證明，對於任意一個物體，輻射本領${\displaystyle E(\nu ,T)}$與吸收率${\displaystyle A(\nu ,T)}$之比是一個與組成物體的物質無關的普適函數（以${\displaystyle f(\nu ,T}$表示）

${\displaystyle {\frac {E(\nu ,T)}{A(\nu ,T)}}=f(\nu ,T)}$

其中，輻射本領${\displaystyle E(\nu ,T)}$為單位時間內從輻射體表面的單位面積上發射出的輻射能量的頻率分布，所以，在${\displaystyle \Delta t}$的時間，從${\displaystyle \Delta S}$面積上發射出頻率在${\displaystyle \nu --\nu +\Delta \nu }$範圍內的能量為${\displaystyle E(\nu ,T)\Delta t\Delta S\Delta \nu }$。因此${\displaystyle E(\nu ,T)}$的單位為${\displaystyle J/m^{2}}$，可以證明，黑體輻射本領與輻射體的能量密度分布${\displaystyle u(\nu ,T)}$的關係為

${\displaystyle E(\nu ,T)={\frac {c}{4}}u(\nu ,T)}$

${\displaystyle u(\nu ,T)}$的單位為${\displaystyle J\cdot s/m^{3}}$ 吸收率${\displaystyle A(\nu ,T)}$則為照到物體上的輻射能量分布被吸收的份額，由於黑體的吸收率為1，所以它的輻射本領

${\displaystyle E(\nu ,T)=f(\nu ,T)}$

這意味著黑體輻射本領等價於普適函數（與物質無關） 同時也可以以用${\displaystyle E(\lambda ,T)}$來表達輻射本領

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {\nu ^{2}}{c}}E(\nu ,T)}$

${\displaystyle E(\lambda ,T)}$的單位為${\displaystyle J/m^{3}\cdot s}$

黑體輻射本領

實驗室測得黑體輻射本領${\displaystyle E(\nu ,T)}$與${\displaystyle \lambda }$的關係如圖

普朗克定律描述的黑體輻射在不同溫度下的頻譜

維因公式

由維因根據熱力學第二定律推出的輻射本領為

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {C_{1}}{\lambda ^{5}}}c^{4}e^{-C_{2}\cdot {\frac {c}{\lambda T}}}}$

其中${\displaystyle c}$是光速,${\displaystyle C_{1},C_{2}}$是常數。

瑞立-金斯公式

瑞立-金斯定律^[1][2]：瑞立和金斯根據電動力學和統計力學嚴格導出的輻射本領為：

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {2\pi c}{\lambda ^{4}}}kT}$

其中,k是波爾茨曼常數

「紫外災變」：在古典統計理論中，能量均分定理預言黑體輻射的強度在紫外區域會發散至無窮大，這和事實嚴重違背

從圖中可以很容易得出只有當 ${\displaystyle \lambda T\gg 10^{-2}\,{\text{m⋅K}}}$ 時，這個公式才符合實驗結果；當 ${\displaystyle \lambda \to 0}$ 的時候，${\displaystyle E\to \infty }$，明顯與實驗數據不符，造成了所謂的紫外災難。而維因的公式僅在低波才符合實驗結果。所以這兩個公式都不能完全符合實驗室所測得的結果。

在統計力學與電動力學可以得出黑體輻射本領公式

${\displaystyle {\begin{cases}E(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}\left(e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\right)}}\\E(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac {hv}{kT}}-1\right)}}\end{cases}}}$

^{[3][4][5][6][7]}

證明

普朗克於1900^[8]年假設能量是不連續的，即

${\displaystyle E=nh\nu ,n=0,1,2,...}$

h是普朗克常數 由古典的能量分布機率(波茲曼機率分布）可以得到：

${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}{\int _{\infty }^{0}e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}}}$

可得到平均能量為

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\int _{\infty }^{0}Ee^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}{\int _{\infty }^{0}e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}}=kT}$

但是根據普朗克的假設，則能量分布機率應該是

${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}}}$

然後就可以得到

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}}=-h\nu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}}={\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$

最後就可以把黑體輻射本領公式改為

${\displaystyle {\begin{cases}E(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}(e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1)}}\\E(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}(e^{\frac {hv}{kT}}-1)}}\end{cases}}}$

參見

• 黑體 (熱力學)
• 維因位移定律
• 維因近似
• 瑞立-金斯定律
• 盒中氣體
• 普朗克黑體輻射定律

參考文獻

1. L. Rayleigh, Phil. Mag.,49 (1900)539
2. J.H. Jeans,Phil.Mag.10(1905)91
3. 曾謹言. 量子力學教程. 北京：科學出版社,2003
4. 張啟仁. 量子力學. 北京：科學出版社.2002
5. 張汝鏗. 量子力學.上海：復旦大學出版社.1997
6. 關洪. 量子力學基礎. 北京：高等教育出版社.1999
7. 程□生. 現代量子力學教程 北京大學出版社.2006
8. M.Planck, Ann. Physik, 4(1901)533