高斯引理 (多項式)

關於數論的「高斯引理」，請見「高斯引理」。

在代數學中 ，高斯引理^[1]以高斯命名，是關於整係數多項式的命題，或者更一般地說，是關於一個唯一分解整環的敘述。

高斯的引理斷言兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。

高斯引理有一個推論，有時也被稱為高斯引理。其斷定一個本原多項式在整數上是不可約的 ，若且唯若它在有理數上是不可約的。

整係數多項式版本

當一個整係數多項式 ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$的係數的最大公因數是1，我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

證明：

以下以反證法證明。

設整係數多項式${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{s}x^{s},g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{t}x^{t}}$都是本原的，並反設${\displaystyle h(x):=f(x)g(x)}$不是本原多項式。

於是${\displaystyle h(x)}$是非本原的整係數多項式，因此可選整除${\displaystyle h(x)}$所有係數的質數${\displaystyle p}$。

但${\displaystyle f(x),g(x)}$皆是本原的，從而可分別選定${\displaystyle i\in \{0,\dots ,s\},j\in \{0,\dots ,t\}}$為滿足${\displaystyle p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}}$的最小整數。現在我們知道${\displaystyle h(x)}$的${\displaystyle i+j}$項係數是

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}\not \equiv 0{\pmod {p}}.}$

根據假設，該項係數應該被${\displaystyle p}$整除，矛盾，故得證。

高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$內可約，則他在整係數多項式環${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$內也可約。

證明：

設${\displaystyle h(x)}$是一在${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式${\displaystyle f_{1}(x),g_{1}(x)}$使得${\displaystyle h(x)=f_{1}(x)g_{1}(x)}$。

透過適當選取整數${\displaystyle a,b,c,d}$，可以假設${\displaystyle \textstyle f_{2}(x):={\frac {a}{c}}f_{1}(x),g_{2}(x):={\frac {b}{d}}g_{1}(x)}$皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。

由上一個引理，${\displaystyle f_{2}(x)g_{2}(x)=\textstyle {\frac {ab}{cd}}h(x)}$也是本原多項式。於是${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$是${\displaystyle h(x)}$的係數的最大公因數，故${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$是個整數。

現在，我們有${\displaystyle h(x)=\textstyle {\frac {cd}{ab}}f_{2}(x)g_{2}(x)}$且${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$是整數，於是也就證明了${\displaystyle h(x)}$在${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$內也可約。

參考資料

1. Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)