的函數。其中a、b與 c為實數常數,且a > 0. 關於高斯取整函數,請見「高斯符號」。 高斯函數是形式為 f ( x ) = a e − ( x − b ) 2 / 2 c 2 {\displaystyle f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}} c2 = 2的高斯函數是傅立葉轉換的特徵函數。這就意味著高斯函數的傅立葉轉換不僅僅是另一個高斯函數,而且是進行傅立葉轉換的函數的純量倍。[註 1]用期望值及變異數作為參數表示的高斯曲線(參見常態分布) 聯立高斯積分 ∫ − ∞ ∞ a e − ( x − b ) 2 / ( 2 c 2 ) d x = a c ⋅ 2 π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.} 和半峰全寬, F W H M = 2 2 ln 2 σ ≈ 2.355 σ . {\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .} 解得 ∫ − ∞ ∞ a e − ( x − b ) 2 / ( 2 c 2 ) d x = a ⋅ 2 π F W H M / 2.355 ≈ 1.064 ⋅ a ⋅ F W H M {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM} 高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影,這方面的例子包括: 在統計學與機率論中,高斯函數是常態分布的密度函數,根據中央極限定理它是複雜總和的有限機率分布。 高斯函數是量子諧振子基態的波函數。 計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數的線性組合(參見量子化學中的基組)。 在數學領域,高斯函數在埃爾米特多項式的定義中起著重要作用。 高斯函數與量子場論中的真空態相關。 在光學以及微波系統中有高斯波束的應用。 高斯函數在圖像處理中用作預平滑核(參見尺度空間表示)。 [註 1]高斯函數屬於初等函數,但它沒有初等不定積分。但是仍然可以在整個實數軸上計算它的廣義積分(參見高斯積分): ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} 。 勞倫茲函數 常態分布 洛侖茲轉換這是一篇關於數學的小作品。您可以透過編輯或修訂擴充其內容。閱論編Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for EdgeWikiwand for Firefox
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.