馬尤厄-嘉當形式

數學上，一個李群G的Maurer-Cartan形式是一個特別的微分形式，它包含關於這個李群的結構的基本的無窮小信息。它被埃里·嘉當多次使用，作為他的移動標架法的基本組成。

設${\displaystyle g=T_{e}G}$是李群在么元的切空間(它的李代數)。G可以由左平移作用在自身

${\displaystyle L_{h}:G\ni k\mapsto hk\in G}$,

這個誘導出切叢到自身的一個映射

${\displaystyle (L_{h})_{*}:T_{k}G\rightarrow T_{hk}G}$.

一個左移不變向量場是${\displaystyle TG}$的一個截面，使得

${\displaystyle (L_{h})_{*}X=X}$ ∀ ${\displaystyle h\in G}$

Maurer-Cartan形式 ${\displaystyle \omega }$ 是在g值(在g中取值)的G上的1形式，根據公式${\displaystyle \omega (v)=(L_{h^{-1}})_{*}v\in g}$作用在向量${\displaystyle v\in T_{h}G}$上。 若X是G上的左移不變向量場，則${\displaystyle \omega (X)}$在G為常數。而且，若X和Y都是左移不變，則

${\displaystyle \omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]}$

其中左邊的括號為向量場的李括號，而右邊的括號為李代數g的李括號。(這可以作為g上的李括號的定義。)這些事實可以用來建立李代數的同構

${\displaystyle g=T_{e}G\cong \{}$ G上的左移不變向量場 ${\displaystyle \}}$.

根據微分的定義，若X和Y為任意向量場，則

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}$.

實用上，若X和Y為左移不變，則

${\displaystyle X(\omega (Y))=Y(\omega (X))=0}$,

所以

${\displaystyle d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]=0}$

但是左邊只是一個2-形式(其值只和X,Y在一點的取值有關，所以跟X,Y作為場在周圍的變化無關)，所以方程不依賴於X和Y是左移不變的條件。所以這個方程對所有向量場X和Y成立。這被稱為Maurer-Cartan方程.

如果G嵌入到GL(n，R),則可以把${\displaystyle \omega }$的公式顯式的寫成

${\displaystyle \omega =g^{-1}dg}$

若我們在李群G上引入主叢，並把G上的左作用定義為變換函數，則聯絡形式${\displaystyle A=\omega }$是平坦的。實際上

${\displaystyle F=dA+A\wedge A=0}$

和Maurer-Cartan方程完全一致。