非交換拓撲

數學中，非交換拓撲是用於拓撲學與C*-代數概念之間關係的術語。非交換拓撲起源於蓋爾范德–奈馬克定理，指出局部緊豪斯多夫空間的範疇同交換C*-代數範疇之間的對偶性。非交換拓撲與解析非交換幾何有關。

例子

非交換拓撲背後是前提是，非交換C*-代數可以像非交換空間上的復值連續函數代數一樣處理，而非交換空間在經典上是不存在的。有幾個拓撲性質可表為C*-代數的性質，而無需提及交換性或底空間，因此可以立即推廣。其中包括

• 緊性（含么）
• σ-緊性（含σ-么）
• 維度（實或穩秩）
• 連通性（無射影）
• 極端不連通空間（AW*-代數）

交換C*-代數的各個元素同連續函數相對應。因此，某些函數類可對應C*-代數的性質，例如交換C*-代數的自伴元素對應實值連續函數。另外，投影（即自伴冪等元）對應閉開集的指示函數。 範疇構造引出一些例子。如，空間的余積是無交並 ，於是對應於代數的直和，其是C*-代數的積。同樣，積拓撲對應C*-代數的余積，即代數的張量積。在更特殊的情形下，拓撲的緊化對應代數的單位化，於是單點緊化對應C*-代數的最小單位化，斯通-切赫緊化對應乘數代數，冠集對應冠代數。

在某些性質的例子中，可能存在多種推廣，但並不清楚哪種更可取。例如，概率測度可對應狀態或跡態。由於交換情形下，所有狀態都是空跡態（vacuously tracial state），因此跡條件是否是有用推廣的必要條件，並不清楚。

K理論

這一思想的一個主要例子是拓撲K-理論以算子K-理論的形式推廣到非交換C*-代數。

其進一步發展是K理論的雙變量版本，稱作KK-理論，有組合積

${\displaystyle KK(A,B)\times KK(B,C)\rightarrow KK(A,C)}$

其中普通K理論的環結構是特例。積賦予KK以範疇的結構，與代數簇的對應有關。^[1]

參考文獻

1. Connes, Alain; Consani, Caterina; Marcolli, Matilde, Noncommutative geometry and motives: the thermodynamics of endomotives, Advances in Mathematics, 2007, 214 (2): 761–831, MR 2349719, arXiv:math.QA/0512138 , doi:10.1016/j.aim.2007.03.006