霍夫施塔特蝴蝶

在凝聚態物理學中，霍夫施塔特蝴蝶^{[注 1]}（英語：Hofstadter's butterfly），又稱霍夫斯塔特蝴蝶，侯世達蝴蝶，指的是在周期性勢能和外部磁場的共同作用下，二維晶格中電子的能量譜所表現出的蝴蝶狀圖案。1976年，侯世達在他的博士論文中描述了這一能量譜分形和自相似的特點^[2]；這張譜圖也成為了現代科學數據可視化的早期範例之一。正如侯世達所寫道的：「（圖中的）巨大能隙形成了一種非常引人注目的圖案，有點類似蝴蝶^{[注 2]}，「霍夫施塔特蝴蝶」也因此得名。

霍夫施塔特繪製的「蝴蝶圖」

霍夫施塔特蝴蝶在整數量子霍爾效應理論和拓撲量子數理論中起著舉足輕重的作用。

歷史

早在20世紀50年代，魯道夫·佩爾斯和他的學生R·G·哈珀（R. G. Harper）就已經研究並發表了垂直均勻磁場作用下二維晶格上電子的第一個數學描述^{[3] [4]}。1976年，侯世達在一篇關於垂直磁場中布洛赫電子能級的文章中首次描述了這種結構^[2]，以圖形方式繪製出哈珀方程的頻譜。該譜圖在數學結構上最顯著的特徵是，在特定的磁場數值下，能帶會在單一維度（能量）上發生分裂。關於這一點，蘇聯物理學家馬克·阿茲貝爾（英語：Mark Azbel）曾在1964年的一篇文章中順帶提過^[5]，但侯世達將所有的磁場值與所有的能量值繪製於二維圖像中，大大發展了這一工作，並首次揭示了圖像中獨特的遞歸的幾何性質。 ^[2]

侯世達的這篇文章從理論上預測，對於一垂直於系統的外加磁場，二維正方形晶格中的電子所有可能的能級關於外加磁場的函數形成了現今所謂的分形集，即在較小尺度上變化的外加磁場所形成的能級分布是通過遞歸的方式去重複大尺度結構中的模式的。^[2]侯世達在他的文章中對該圖案遞歸結構的描述，早於本華·曼德博創造的「分形」這一術語^[2]。在獲得1980年普立茲獎的《哥德爾、埃舍爾、巴赫》一書中，侯世達再次討論了這張圖像，使「霍夫施塔特蝴蝶」廣為人知。

戴維·索利斯和他的團隊發現，蝴蝶翅膀的特徵是陳整數，這為計算霍夫施塔特模型中的霍爾電導提供了一種方法。 ^[6]

實驗證據

通過超導量子比特模擬電子的行為來生成霍夫施塔特蝴蝶圖案

1997年，科學家在使用帶有一系列散射體（array of scatterers）的微波波導（microwave guide）進行的實驗中發現了與霍夫施塔特蝴蝶類似的圖案^[7]。這是因為帶有散射體的微波波導的數學描述與磁場中的布洛赫波之間具有相似性，所以散射體的周期性序列能夠產生類似霍夫施塔特蝴蝶的圖案。

2001年，克里斯蒂安·阿爾布雷希特（Christian Albrecht）、克勞斯·馮·克利青及其同事利用超晶格勢中的二維電子氣（英語：Two-dimensional electron gas）來檢驗索利斯等人關於霍夫施塔特蝴蝶的預測。^{[8] [3]}

2013年，三個獨立的研究組各自發表了在六方氮化硼基底上製造的石墨烯器件中存在霍夫施塔特蝴蝶譜圖的證據^{[9] [10][11]}。這裡的蝴蝶譜圖是由外加磁場與石墨烯、氮化硼之間形成的大尺度莫爾條紋相互作用所導致的。

2017年9月，谷歌的John Martinis（英語：John M. Martinis）團隊與CQT新加坡（英語：Centre for Quantum Technologies）的Angelakis團隊合作，利用9個超導量子比特中相互作用的光子對垂直磁場中的二維電子進行模擬計算，成功地再現了霍夫施塔特蝴蝶。^[12]

2021年，科學家在接近第二魔角的轉角雙層石墨烯（英語：bilayer graphene）中觀察到了霍夫施塔特蝴蝶^[13]。

注釋

1. 該譯名參考了中國科學院物理研究所網站上的一篇新聞稿。^[1]
2. 原文：「the large gaps [in the graph] form a very striking pattern somewhat resembling a butterfly.」^[2]

相關條目

• 侯世達
• 《哥德爾、埃舍爾、巴赫》

參考資料

1. HfTe3/HfTe5二维原子晶体异质结的构筑及物性研究取得进展 - 中国科学院物理研究所. www.iop.cas.cn. [2024-05-30].
2. Hofstadter, Douglas R. Energy levels and wavefunctions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields. Physical Review B. 1976, 14 (6): 2239–2249. Bibcode:1976PhRvB..14.2239H. doi:10.1103/PhysRevB.14.2239.
3. Avron J, Osadchy D., and Seiler R. A topological look at the quantum Hall effect. Physics Today. 2003, 53 (8): 38–42. Bibcode:2003PhT....56h..38A. doi:10.1063/1.1611351 .
4. Harper, P G. Single Band Motion of Conduction Electrons in a Uniform Magnetic Field. Proceedings of the Physical Society. Section A. 1955-10-01, 68 (10): 874–878. Bibcode:1955PPSA...68..874H. ISSN 0370-1298. doi:10.1088/0370-1298/68/10/304 （英語）.
5. Azbel', Mark Ya. Energy Spectrum of a Conduction Electron in a Magnetic Field. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1964, 19 (3): 634–645.
6. Thouless D., Kohmoto M, Nightngale and M. den-Nijs. Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential. Physical Review Letters. 1982, 49 (6): 405–408. Bibcode:1982PhRvL..49..405T. doi:10.1103/PhysRevLett.49.405 .
7. Kuhl, U.; Stöckmann, H.-J. Microwave realization of the Hofstadter butterfly. Physical Review Letters. 13 April 1998, 80 (15): 3232–3235. Bibcode:1998PhRvL..80.3232K. doi:10.1103/PhysRevLett.80.3232.
8. Albrecht, C.; Smet, J. H.; von Klitzing, K.; Weiss, D.; Umansky, V.; Schweizer, H. Evidence of Hofstadter's Fractal Energy Spectrum in the Quantized Hall Conductance. Physical Review Letters. 2001-01-01, 86 (1): 147–150. Bibcode:2001PhRvL..86..147A. ISSN 0031-9007. PMID 11136115. doi:10.1103/PhysRevLett.86.147 （英語）.
9. Dean, C. R.; Wang, L.; Maher, P.; Forsythe, C.; Ghahari, F.; Gao, Y.; Katoch, J.; Ishigami, M.; Moon, P.; Koshino, M.; Taniguchi, T. Hofstadter's butterfly and the fractal quantum Hall effect in moiré superlattices. Nature. 30 May 2013, 497 (7451): 598–602. Bibcode:2013Natur.497..598D. PMID 23676673. S2CID 119210000. arXiv:1212.4783 . doi:10.1038/nature12186.
10. Ponomarenko, L. A.; Gorbachev, R. V.; Yu, G. L.; Elias, D. C.; Jalil, R.; Patel, A. A.; Mishchenko, A.; Mayorov, A. S.; Woods, C. R.; Wallbank, J. R.; Mucha-Kruczynski, M. Cloning of Dirac fermions in graphene superlattices. Nature. 30 May 2013, 497 (7451): 594–597. Bibcode:2013Natur.497..594P. PMID 23676678. S2CID 4431176. arXiv:1212.5012 . doi:10.1038/nature12187. hdl:10261/93894.
11. Hunt, B.; Sanchez-Yamagishi, J. D.; Young, A. F.; Yankowitz, M.; LeRoy, B. J.; Watanabe, K.; Taniguchi, T.; Moon, P.; Koshino, M.; Jarillo-Herrero, P.; Ashoori, R. C. Massive Dirac fermions and Hofstadter butterfly in a van der Waals heterostructure. Science. 2013, 340 (6139): 1427–1430. Bibcode:2013Sci...340.1427H. PMID 23686343. S2CID 37694594. arXiv:1303.6942 . doi:10.1126/science.1237240.
12. Roushan, P.; Neill, C.; Tangpanitanon, J.; Bastidas, V. M.; Megrant, A.; Barends, R.; Chen, Y.; Chen, Z.; Chiaro, B.; Dunsworth, A.; Fowler, A. Spectroscopic signatures of localization with interacting photons in superconducting qubits. Science. 2017-12, 358 (6367). ISSN 0036-8075. doi:10.1126/science.aao1401 （英語）.
13. Lu, Xiaobo; Lian, Biao; Chaudhary, Gaurav; Piot, Benjamin A.; Romagnoli, Giulio; Watanabe, Kenji; Taniguchi, Takashi; Poggio, Martino; MacDonald, Allan H.; Bernevig, B. Andrei; Efetov, Dmitri K. Multiple flat bands and topological Hofstadter butterfly in twisted bilayer graphene close to the second magic angle. Proceedings of the National Academy of Sciences. 2021-07-27, 118 (30): e2100006118. Bibcode:2021PNAS..11800006L. ISSN 0027-8424. PMC 8325360 . PMID 34301893. arXiv:2006.13963 . doi:10.1073/pnas.2100006118  （英語）.