瑞利商

在數學中，瑞利商（英語：Rayleigh quotient）定義為：^[1][2]

$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}$$

式中，${\displaystyle M}$為復埃爾米特矩陣，${\displaystyle x}$為非零向量。對實矩陣和向量，對矩陣的埃爾米特矩陣要求退化為對稱矩陣，對向量的共軛轉置退化為轉置。

${\displaystyle R(M,cx)=R(M,x)}$對所有非零純量${\displaystyle c}$成立。

埃爾米特矩陣（或實對稱矩陣）只具有實特徵值且可對角化，由此，對於給定矩陣，其瑞利商達到最小值λ（${\displaystyle M}$的最小特徵值）當${\displaystyle x}$為${\displaystyle v_{\min }}$（最小特徵值對應的特徵向量）；類似的：${\displaystyle R(M,x)\leq \lambda _{\max }}$，${\displaystyle R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }}$。^[2]

瑞利商使用最小最大定理（英語：Min-max_theorem）（min-max theorem）獲得所有特徵值的精確值。它還用於特徵值算法（如瑞利商迭代（英語：Rayleigh_quotient_iteration）），從特徵向量近似值中獲得特徵值近似值。

在量子力學中，瑞利商給出了狀態為${\displaystyle x}$的系統中算子${\displaystyle M}$觀測值的期望值。

埃爾米特矩陣M的界

對於任意向量${\displaystyle x}$，其瑞利商滿足${\displaystyle R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]}$，其中${\displaystyle \lambda _{\min },\lambda _{\max }}$分別代表矩陣${\displaystyle M}$的最小特徵值和最大特徵值。觀察定義可知，矩陣${\displaystyle M}$的瑞利商等價於其特徵值的加權和：$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}$$其中${\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}$是第${\displaystyle i}$個歸一化後的特徵值-特徵向量對，${\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}$是${\displaystyle x}$在特徵基中的第${\displaystyle i}$個坐標。可以驗證，當${\displaystyle x}$為矩陣${\displaystyle M}$最小（最大）特徵值對應的特徵向量${\displaystyle v_{\min }}$（${\displaystyle v_{\max }}$）時，${\displaystyle R(M,x)}$取值達到其下（上）界。

參考文獻

1. 史, 榮昌; 魏, 豐. 矩阵分析. 北京: 北京理工大學. 2010: 144–147. ISBN 9787564031893.
2. 張, 賢達. 矩阵分析与应用. 北京: 清華大學. 2013: 442–447. ISBN 9787302338598.