雙曲線扇形

雙曲線扇形是指在一個笛卡兒坐標平面${\displaystyle {(x,y)}}$ 之上，雙曲線${\displaystyle xy=1}$與從原點${\displaystyle (0,0)}$出發的兩條射線相交處的兩點${\displaystyle (a,1/a)}$和${\displaystyle (b,1/b)}$之間的面積。

一個標準位置的雙曲線扇形有${\displaystyle a=1}$及${\displaystyle b>1}$。

處於標準位置的雙曲線扇形的面積是 ${\displaystyle \ln b}$ 。

證明：

黃色部分的面積相等於三角形${\displaystyle {(0,0),(1,0),(1,1)}}$的面積加上雙曲線底下從${\displaystyle 1}$ 到${\displaystyle b}$ 的面積，再減去白色三角形${\displaystyle {(0,0),(b,0),(b,1/b)}}$的面積。所以，黃色部分的面積為：

${\displaystyle \int _{1}^{b}{dx \over x}+{1 \over 2}-{1 \over 2}\times b\times {1 \over b}=\int _{1}^{b}{dx \over x}=\ln b}$

處於標準位置的雙曲線扇形與正值的雙曲角相對應。