隨機森林

在機器學習中，隨機森林是一個包含多個決策樹的分類器，並且其輸出的類別是由個別樹輸出的類別的眾數而定。

把隨機樹的聚合構建為隨機森林的原理示意圖。

這個術語是1995年^[1]由貝爾實驗室的何天琴（英語：Tin Kam Ho）所提出的隨機決策森林（random decision forests）而來的。^[2][3]

然後Leo Breiman（英語：Leo Breiman）和Adele Cutler（英語：Adele Cutler）發展出推論出隨機森林的演算法。而"Random Forests"是他們的商標。

這個方法則是結合Breimans的"Bootstrap aggregating"想法和Ho的"random subspace method"以建造決策樹的集合。

歷史

隨機森林的引入最初是由華裔美國人何天琴（英語：Tin Kam Ho）於1995年^[1]先提出的。^[2]然後隨機森林由Leo Breiman於2001年在一篇論文中提出的。^[4]這篇文章描述了一種結合隨機節點最佳化和bagging，利用類CART過程構建不相關樹的森林的方法。此外，本文還結合了一些已知的、新穎的、構成了現代隨機森林實踐的基礎成分，特別是

1. 使用out-of-bag誤差來代替泛化誤差
2. 通過排列度量變數的重要性

演算法

預備：決策樹學習

主條目：決策樹學習

決策樹是機器學習的常用方法。 Hastie等說：「樹學習是如今最能滿足於資料探勘的方法，因為它在特徵值的縮放和其他各種轉換下保持不變，對無關特徵是穩健的，而且能生成可被檢查的模型。然而，它通常並不準確。」^[5]

特別的，生長很深的樹容易學習到高度不規則的模式，即過學習，在訓練集上具有低偏差和高變異數的特點。隨機森林是平均多個深決策樹以降低變異數的一種方法，其中，決策樹是在一個資料集上的不同部分進行訓練的。^[5]這是以偏差的小幅增加和一些可解釋性的喪失為代價的，但是在最終的模型中通常會大大提高效能。

Bagging

主條目：Bagging演算法

隨機森林訓練演算法把bagging的一般技術應用到樹學習中。給定訓練集${\displaystyle X=x_{1},\dots ,x_{n}}$和目標${\displaystyle Y=y_{1},\dots ,y_{n}}$，bagging方法重複（${\displaystyle B}$次）從訓練集中有放回地採樣，然後在這些樣本上訓練樹模型：

For b = 1, ..., B:

1. Sample, with replacement, n training examples from X, Y; call these X_b, Y_b.
2. Train a classification or regression tree f_b on X_b, Y_b.

在訓練結束之後，對未知樣本x的預測可以通過對x上所有單個回歸樹的預測求平均來實現：

${\displaystyle {\hat {f}}={\frac {1}{B}}\sum _{b=1}^{B}f_{b}(x')}$

或者在分類任務中選擇多數投票的類別。

這種bagging方法在不增加偏置的情況下降低了方差，從而帶來了更好的效能。這意味著，即使單個樹模型的預測對訓練集的噪聲非常敏感，但對於多個樹模型，只要這些樹並不相關，這種情況就不會出現。簡單地在同一個資料集上訓練多個樹模型會產生強相關的樹模型（甚至是完全相同的樹模型）。Bootstrap抽樣是一種通過產生不同訓練集從而降低樹模型之間關聯性的方法。

此外，x'上所有單個回歸樹的預測的標準差可以作為預測的不確定性的估計：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\sum _{b=1}^{B}(f_{b}(x')-{\hat {f}})^{2}}{B-1}}}.}$

樣本或者樹的數量B是一個自由參數。通常使用幾百到幾千棵樹，這取決於訓練集的大小和性質。使用交叉驗證，或者透過觀察out-of-bag誤差（那些不包含xᵢ的抽樣集合在樣本xᵢ的平均預測誤差），可以找到最佳的B值。當一些樹訓練到一定程度之後，訓練集和測試集的誤差開始趨於平穩。

從 bagging 到隨機森林

上面的過程描述了樹的原始的 bagging 演算法。隨機森林與這個通用的方案只有一點不同:它使用一種改進的學習演算法，在學習過程中的每次候選分裂中選擇特徵的隨機子集。這個過程有時又被稱為「特徵 bagging」。這樣做的原因是 bootstrap 抽樣導致的樹的相關性：如果有一些特徵預測目標值的能力很強，那麼這些特徵就會被許多樹所選擇，這樣就會導致樹的強相關性。何天琴（英語：Tin Kam Ho）分析了不同條件下 bagging 和隨機子空間投影對精度提高的影響。^[3]

典型地，對於一個包含 p 個特徵的分類問題，可以在每次劃分時使用 ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ 個特徵^[5]:592。對於回歸問題，作者推薦 p/3 但不少於 5 個特徵^[5]:592。

極限樹

再加上一個隨機化步驟，就會得到極限隨機樹（extremely randomized trees），即極限樹。與普通的隨機森林相同，他們都是單個樹的整合，但也有不同：首先，每棵樹都使用整個學習樣本進行了訓練，其次，自上而下的劃分是隨機的。它並不計算每個特徵的最佳劃分點（例如，基於資訊熵或者基尼不純度），而是隨機選擇劃分點。該值是從特徵經驗範圍內均勻隨機選取的。在所有隨機的劃分點中，選擇其中分數最高的作為結點的劃分點。與普通的隨機森林相似，可以指定每個節點要選擇的特徵的個數。該參數的預設值，對於分類問題，是${\displaystyle {\sqrt {n}}}$，對於回歸問題，是${\displaystyle n}$，其中 ${\displaystyle n}$是模型的特徵個數。^[6]

性質

特徵的重要性

隨機森林天然可用來對回歸或分類問題中變數的重要性進行排序。下面的技術來自Breiman的論文，R語言套件randomForest包含它的實現。^[7]

度量資料集 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}=\{(X_{i},Y_{i})\}_{i=1}^{n}}$的特徵重要性的第一步是，使用訓練集訓練一個隨機森林模型。在訓練過程中記錄下每個資料點的out-of-bag誤差，然後在整個森林上進行平均。

為了度量第${\displaystyle j}$個特徵的重要性，第${\displaystyle j}$個特徵的值在訓練資料中被打亂，並重新計算打亂後的資料的out-of-bag誤差。則第${\displaystyle j}$個特徵的重要性分數可以通過計算打亂前後的out-of-bag誤差的差值的平均來得到，這個分數通過計算這些差值的標準差進行標準化。

產生更大分數的特徵比小分數的特徵更重要。這種特徵重要性的度量方法的統計定義由Zhu et al.^[8]給出。

這種度量方法也有一些缺陷。對於包含不同取值個數的類別特徵，隨機森林更偏向於那些取值個數較多的特徵，partial permutations^[9][10]、growing unbiased trees^[11][12]可以用來解決這個問題。如果資料包含一些相互關聯的特徵組，那麼更小的組更容易被選擇。^[13]

與最近鄰演算法的關係

Lin和Jeon在2002年指出了隨機森林演算法和K-近鄰演算法(k-NN)的關係。^[14] 事實證明，這兩種演算法都可以被看作是所謂的「加權鄰居的方案」。這些在資料集${\displaystyle \{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}}$上訓練的模型通過檢視一個點的鄰居來計算一個新點x'的預測值${\displaystyle {\hat {y}}}$，並且使用權重函式W對這些鄰居進行加權:

${\displaystyle {\hat {y}}=\sum _{i=1}^{n}W(x_{i},x')\,y_{i}.}$

其中， ${\displaystyle W(x_{i},x')}$是第i個點在同一棵樹中相對於新的資料點x'的非負權重。對於任一特定的點x'，${\displaystyle x_{i}}$的權重的和必須為1。權重函式設定如下：

• 對於k-NN演算法，如果x_i是距離x'最近的k個點之一，則${\displaystyle W(x_{i},x')={\frac {1}{k}}}$，否則為0。
• 對於樹，如果x_i與x'屬於同一個包含k'個點的葉結點，則${\displaystyle W(x_{i},x')={\frac {1}{k'}}}$，否則為0。

因為森林平均了m棵樹的預測，且這些樹具有獨立的權重函式${\displaystyle W_{j}}$，故森林的預測值是：

${\displaystyle {\hat {y}}={\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}W_{j}(x_{i},x')\,y_{i}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}W_{j}(x_{i},x')\right)\,y_{i}.}$

上式表明了整個森林也採用了加權的鄰居方案，其中的權重是各個樹的平均。在這裡，x'的鄰居是那些在任一樹中屬於同一個葉節點的點${\displaystyle x_{i}}$。只要${\displaystyle x_{i}}$與x'在某棵樹中屬於同一個葉節點，${\displaystyle x_{i}}$就是x'的鄰居。

基於隨機森林的非監督學習

作為構建的一部分，隨機森林預測器自然會導致觀測值之間的不相似性度量。還可以定義未標記資料之間的隨機森林差異度量：其思想是構造一個隨機森林預測器，將「觀測」資料與適當生成的合成資料區分開來。^[4][15] 觀察到的資料是原始的未標記資料，合成資料是從參考分布中提取的。隨機森林的不相似性度量之所以吸引人，是因為它能很好地處理混合變數類型，對輸入變數的單調變換是不敏感的，而且在存在異常值的情況下度量結果依然可靠。由於其原生變數的選擇，隨機森林不相似性很容易處理大量的半連續變數。

學習演算法

根據下列演算法而建造每棵樹：

1. 用${\displaystyle N}$來表示訓練用例（樣本）的個數，${\displaystyle M}$表示特徵數目。
2. 輸入特徵數目${\displaystyle m}$，用於確定決策樹上一個節點的決策結果；其中${\displaystyle m}$應遠小於${\displaystyle M}$。
3. 從${\displaystyle N}$個訓練用例（樣本）中以有放回抽樣的方式，取樣${\displaystyle N}$次，形成一個訓練集（即bootstrap取樣），並用未抽到的用例（樣本）作預測，評估其誤差。
4. 對於每一個節點，隨機選擇${\displaystyle m}$個特徵，決策樹上每個節點的決定都是基於這些特徵確定的。根據這${\displaystyle m}$個特徵，計算其最佳的分裂方式。
5. 每棵樹都會完整成長而不會剪枝（Pruning，這有可能在建完一棵正常樹狀分類器後會被採用）。

優點

隨機森林的優點有：

• 對於很多種資料，它可以產生高準確度的分類器。
• 它可以處理大量的輸入變數。
• 它可以在決定類別時，評估變數的重要性。
• 在建造森林時，它可以在內部對於一般化後的誤差產生不偏差的估計。
• 它包含一個好方法可以估計遺失的資料，並且，如果有很大一部分的資料遺失，仍可以維持準確度。
• 它提供一個實驗方法，可以去偵測variable interactions。
• 對於不平衡的分類資料集來說，它可以平衡誤差。
• 它計算各例中的親近度，對於資料探勘、偵測離群點（outlier）和將資料視覺化非常有用。
• 使用上述。它可被延伸應用在未標記的資料上，這類資料通常是使用非監督式聚類。也可偵測偏離者和觀看資料。
• 學習過程是很快速的。

開源實現

• The Original RF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Breiman and Cutler written in Fortran 77.
• ALGLIB （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） contains a modification of the random forest in C#, C++, Pascal, VBA.
• party （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Implementation based on the conditional inference trees in R.
• randomForest （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） for classification and regression in R.
• Python implementation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） with examples in scikit-learn.
• Orange data mining suite includes random forest learner and can visualize the trained forest.
• Matlab （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） implementation.
• SQP （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） software uses random forest algorithm to predict the quality of survey questions, depending on formal and linguistic characteristics of the question.
• Weka RandomForest （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in Java library and GUI.
• ranger （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） A C++ implementation of random forest for classification, regression, probability and survival. Includes interface for R.

參閱

• 機器學習
• 提升方法 - 機器學習方法
• 決策樹學習 - 機器學習演算法
• 整合學習 - 統計與機器學習技術
• 無母數統計
• 隨機化演算法 - 將一定程度的隨機性作為其邏輯或程式的一部分的演算法

參考文獻

1. Tin Kam Ho. Random decision forests. Proceedings of 3rd International Conference on Document Analysis and Recognition (Montreal, Que., Canada: IEEE Comput. Soc. Press). 1995, 1: 278–282 [2020-03-04]. ISBN 978-0-8186-7128-9. doi:10.1109/ICDAR.1995.598994. （原始內容存檔於2021-03-03）.
2. Tin Kam Ho. The random subspace method for constructing decision forests. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. Aug./1998, 20 (8): 832–844 [2020-03-04]. doi:10.1109/34.709601. （原始內容存檔於2021-03-08）. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
3. Ho, Tin Kam. A Data Complexity Analysis of Comparative Advantages of Decision Forest Constructors (PDF). Pattern Analysis and Applications. 2002: 102–112 [2019-02-16]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-04-17）.
4. RandomForest2001 (PDF). [2019-07-26]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-04-03）.
5. Template:ElemStatLearn
6. Geurts P, Ernst D, Wehenkel L. Extremely randomized trees (PDF). Machine Learning. 2006, 63: 3–42 [2019-02-16]. doi:10.1007/s10994-006-6226-1. （原始內容 (PDF)存檔於2017-10-31）.
7. Liaw A. Documentation for R package randomForest (PDF). 16 October 2012 [15 March 2013]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-03-19）.
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15. Shi, T., Horvath, S. Unsupervised Learning with Random Forest Predictors. Journal of Computational and Graphical Statistics. 2006, 15 (1): 118–138  . CiteSeerX 10.1.1.698.2365 . JSTOR 27594168. doi:10.1198/106186006X94072.

外部連結

• （英文）Ho, Tin Kam (1995). "Random Decision Forest". Proc. of the 3rd Int'l Conf. on Document Analysis and Recognition, Montreal, Canada, August 14-18, 1995, 278-282（Preceding Work）
• （英文）Ho, Tin Kam (1998). "The Random Subspace Method for Constructing Decision Forests". IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence 20 (8), 832-844（Preceding Work）
• （英文）Deng, H; Runger, G; Tuv, Eugene (2011). Bias of importance measures for multi-valued attributes and solutions, Proceedings of the 21st International Conference on Artificial Neural Networks (ICANN2011)
• （英文）Amit, Yali and Geman, Donald (1997) "Shape quantization and recognition with randomized trees". Neural Computation 9, 1545-1588. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Preceding work）
• （英文）Breiman, Leo "Looking Inside The Black Box". Wald Lecture II（Lecture）
• （英文）Breiman, Leo (2001). "Random Forests". Machine Learning 45 (1), 5-32^{[永久失效連結]}（Original Article）
• （英文）Random Forest classifier description（Site of Leo Breiman）
• （英文）Liaw, Andy & Wiener, Matthew "Classification and Regression by randomForest" R News (2002) Vol. 2/3 p. 18 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Discussion of the use of the random forest package for R）
• （英文）Ho, Tin Kam (2002). "A Data Complexity Analysis of Comparative Advantages of Decision Forest Constructors". Pattern Analysis and Applications 5, p. 102-112 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Comparison of bagging and random subspace method）