隨機偏微分方程

隨機偏微分方程（英文：Stochastic partial differential equation，SPDE）為偏微分方程引入了隨機項和隨機係數，類似於隨機微分方程之於常微分方程。隨機微分方程在量子場論、統計力學、金融數學中有著廣泛的應用。^[1][2]

示例

最常見的SPDE之一是隨機熱傳導方程^[3] ，形式上可以寫作

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

其中${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子，${\displaystyle \xi }$表示時空白噪聲。其他例子還有知名方程的隨機版本，如波動方程^[4]和薛丁格方程。^[5]

討論

一個困難是缺乏正規性。在一個空間維度中，隨機熱傳導方程的解在空間上幾乎只有1/2-赫爾德連續，在時間上則只有1/4-赫爾德連續。對於二維及更高維度，解甚至不是函數值，但可以理解為隨機分布。

對於線性方程，通常可以通過半群手段找到溫和解（mild solution）。^[6] 然而，當考慮非線性方程時，問題就開始出現了。例如

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

其中${\displaystyle P}$是多項式。在這種情況下，我們甚至不知道該如何理解這個方程。這樣的方程在多維情形下也不會有數值解，因此也沒有點。眾所周知，分布空間沒有積結構。這是此類理論的核心問題。這就需要某種形式的重整化。

為規避某些特定方程的此類問題，早期的嘗試是所謂的「普拉托-德布斯切技巧」（da Prato–Debussche trick），即把此類非線性方程作為線性方程的擾動來研究。^[7]然而，這只能在非常受限的環境中使用，因為它既取決於非線性因子，也取決於驅動噪聲項的正規性。近年來，這一領域急劇擴大，現在已有大型機制可以保證各種亞臨界SPDE的局部存在性。^[8]

另見

• 布朗面
• KPZ方程
• 庫什納方程
• 威克積

參考文獻

1. Prévôt, Claudia; Röckner, Michael. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 2007 [2023-10-29]. ISBN 978-3-540-70780-6. （原始內容存檔於2020-03-29） （英語）.
2. Krainski, Elias T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, Finn; Rue, Håvard. Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. 2018 [2023-10-29]. ISBN 978-1-138-36985-6. （原始內容存檔於2020-03-29）.
3. Edwards, S.F.; Wilkinson, D.R. The Surface Statistics of a Granular Aggregate. Proc. R. Soc. Lond. A. 1982-05-08, 381 (1780): 17–31 [2023-10-29]. doi:10.1098/rspa.1982.0056. （原始內容存檔於2023-12-29） （英語）.
4. Dalang, Robert C.; Frangos, N. E. The Stochastic Wave Equation in Two Spatial Dimensions. The Annals of Probability. 1998, 26 (1): 187–212 [2023-10-29]. ISSN 0091-1798. （原始內容存檔於2023-05-09）.
5. Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. The non-Markovian stochastic Schrödinger equation for open systems. Physics Letters A. 1997-11-24, 235 (6): 569–573. ISSN 0375-9601. arXiv:quant-ph/9706050 . doi:10.1016/S0375-9601(97)00717-2 （英語）.
6. Walsh, John B. Carmona, René; Kesten, Harry; Walsh, John B.; Hennequin, P. L. , 編. An introduction to stochastic partial differential equations. École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984. Lecture Notes in Mathematics (Springer Berlin Heidelberg). 1986, 1180: 265–439. ISBN 978-3-540-39781-6. doi:10.1007/bfb0074920 （英語）.
7. Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud. Strong Solutions to the Stochastic Quantization Equations. Annals of Probability. 2003, 31 (4): 1900–1916. JSTOR 3481533.
8. Corwin, Ivan; Shen, Hao. Some recent progress in singular stochastic partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. 2020, 57 (3): 409–454. doi:10.1090/bull/1670 .

閱讀更多

• Bain, A.; Crisan, D. Fundamentals of Stochastic Filtering. Stochastic Modelling and Applied Probability 60. New York: Springer. 2009. ISBN 978-0387768953.
• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach. Universitext 2nd. New York: Springer. 2010. ISBN 978-0-387-89487-4. doi:10.1007/978-0-387-89488-1.
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. An Explicit Link between Gaussian Fields and Gaussian Markov Random Fields: The Stochastic Partial Differential Equation Approach. Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology. 2011, 73 (4): 423–498 [2023-10-29]. ISSN 1369-7412. doi:10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl:20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . （原始內容存檔於2024-04-27）.
• Xiu, D. Numerical Methods for Stochastic Computations: A Spectral Method Approach. Princeton University Press. 2010. ISBN 978-0-691-14212-8.

外部連結

• A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations (PDF). 2006.
• Hairer, Martin. An Introduction to Stochastic PDEs. 2009. arXiv:0907.4178  [math.PR].