重心坐標

數學中，重心坐標是由單形（如三角形或四面體等）頂點定義的坐標。重心坐標是齊次坐標的一種。

設v₁, ..., v_n是向量空間V中一個單形的頂點，如果V中某點p滿足，

${\displaystyle (\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda _{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n},}$

那麼我們稱係數（λ₁, ..., λ_n）是 p關於v₁, ..., v_n的重心坐標。這些頂點自己的坐標分別是（1, 0, 0, ..., 0），（0, 1, 0, ..., 0）, ...,（0, 0, 0, ..., 1）。重心坐標不是惟一的：對任何不等於零的k，（k λ₁, ..., k λ_n）也是p的重心坐標。但總可以取坐標滿足 λ₁ + ...+ λ_n = 1，稱為正規化坐標。注意到定義式在仿射變換下不變，故重心坐標具有仿射不變性。

如果坐標分量都非負，則p在v₁, ..., v_n的凸包內部，即由這些頂點組成的單形包含p。我們設想如果有質量λ₁, ..., λ_n分別位於單形的頂點，那麼質量中心就是p。這是術語「重心」的起源，1827年由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯最初引入。

三角形的重心坐標

在三角形情形中，重心坐標也叫面積坐標，因為P點關於三角形ABC的重心坐標和三角形PBC, PCA及PAB的（有向）面積成比例，證明如下（如右圖所示）。

我們用黑體小寫字母表示對應點的向量，比如三角形ABC頂點為${\displaystyle {\textbf {a}}\,,{\textbf {b}}\,}$和${\displaystyle {\textbf {c}}\,}$，P點為${\displaystyle {\textbf {p}}}$等。設PBC, PCA及PAB面積之比為${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}\,}$且${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$，設射線AP與BC交於D，則

${\displaystyle BD:DC=\lambda _{3}:\lambda _{2},}$從而${\displaystyle {\textbf {d}}={\frac {\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}}}{\lambda _{2}+\lambda _{3}}},}$

${\displaystyle AP:PD=(\lambda _{2}+\lambda _{3}):\lambda _{1}}$，故

${\displaystyle {\textbf {p}}={\frac {(\lambda _{2}+\lambda _{3}){\textbf {d}}+\lambda _{1}{\textbf {a}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\,,}$

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}}\,.}$

所以，${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$就是P的重心坐標。

坐標變換

給定三角形平面一點P，我們將這一點的面積坐標${\displaystyle \lambda _{1}\,}$，${\displaystyle \lambda _{2}\,}$和${\displaystyle \lambda _{3}\,}$用笛卡爾坐標表示出來。

利用笛卡爾坐標中的三角形面積公式：

${\displaystyle S(ABC)={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}$

我們可得：

${\displaystyle \lambda _{1}=S(PBC)/S(ABC)={\begin{vmatrix}1&x_{p}&y_{p}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}$

類似地有${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$，注意ABC構成一個三角形，上式的分母不可能為0。

反過來則簡單得多：

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}},}$故

${\displaystyle x_{p}=\lambda _{1}x_{a}+\lambda _{2}x_{b}+\lambda _{3}x_{c},}$和

${\displaystyle y_{p}=\lambda _{1}y_{a}+\lambda _{2}y_{b}+\lambda _{3}y_{c}.}$

判斷一點的位置

因重心坐標是笛卡爾坐標的一個線性變換，從而它們在邊和三角形區域之間的變化是線性的。如果點在三角形內部，那麼所有重心坐標屬於開區間${\displaystyle (0,1)}$；如果一點在三角形的邊上，至少有一個面積坐標${\displaystyle \lambda _{1...3}}$為0，其餘分量位於閉區間${\displaystyle [0,1]}$。如果有某個坐標小於0，則位於三角形外部，具體分布可參考上圖。 圖示中，B和C頂端的坐標正負反了，B的應該是（-,+,-），C的是（-,-,+）

應用

面積坐標在涉及到三角形子區域的工程學問題時特別有用，經常可以化簡解析積分求值，高斯積分法表也常以面積坐標的形式給出。

考慮由頂點${\displaystyle {\textbf {v}}_{1}\,}$, ${\displaystyle {\textbf {v}}_{2}\,}$和${\displaystyle {\textbf {v}}_{3}\,}$定義的三角形T，任何在三角形內部的點${\displaystyle {\textbf {p}}}$都能寫成頂點的加權和：

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {v}}_{3},}$

這裡${\displaystyle \lambda _{1}\,}$、${\displaystyle \lambda _{2}\,}$和${\displaystyle \lambda _{3}\,}$是面積坐標。注意到${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,}$。從而，函數${\displaystyle f}$在T上的積分為：

${\displaystyle \int _{T}f({\textbf {p}})\ ds=2S\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}){\textbf {v}}_{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\,}$

這裡S是三角形T的面積。注意上式具有線性插值的形式。

重心坐標提供了一種非結構網格上函數插值的方法，假設函數值在所有網格的頂點上已知。如果${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i\in {1,2,3}}$，則點${\displaystyle {\textbf {p}}}$位於三角形內部或邊界上。我們取${\displaystyle f}$的插值為

${\displaystyle f({\textbf {p}})=\lambda _{1}f({\textbf {v}}_{1})+\lambda _{2}f({\textbf {v}}_{2})+\lambda _{3}f({\textbf {v}}_{3}),}$

這個線性插值是自動正規的因為${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$。

四面體的重心坐標

重心坐標容易推廣到三維空間。3維單形即四面體，具有四個三角形面和四個頂點。

完全類似於三角形，四面體${\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}$的頂點${\displaystyle {\textbf {v}}_{1}}$的重心坐標為（1,0,0,0），${\displaystyle {\textbf {v}}_{2}}$為（0,1,0,0），如是等等。

點${\displaystyle {\textbf {p}}}$的笛卡爾坐標和為關於四面體${\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}$的重心坐標的關係：

${\displaystyle \lambda _{1}={\text{Vol}}(PV_{2}V_{3}V_{4})/{\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}),\;\lambda _{2}=\cdots .}$

這裡${\displaystyle {\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4})}$為${\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}$組成的四面體的體積，類似於三角形也可以用笛卡爾坐標的一個行列式表示出來。

3維重心坐標和2維一樣，可以確定一點是否位於四面體內部，也能對四面體網格上函數插值。因為利用重心坐標可以極大地簡化3維插值，四面體網格經常用於有限元分析。

參考文獻

• Bradley, Christopher J. The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. 2007. ISBN 978-1-906338-00-8.
• 埃里克·韋斯坦因. Areal Coordinates. MathWorld.
• 埃里克·韋斯坦因. Barycentric Coordinates. MathWorld.

外部連結

• 重心坐標：一個有意思的運用 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（解「三杯子問題」）位於cut-the-knot
• 齊次重心坐標在平面歐幾里得幾何中的運用