辛普森悖論

辛普森悖論（英語：Simpson's paradox），是機率和統計中的一種現象，其中趨勢出現在幾組數據中，但當這些組被合併後趨勢消失或反轉。 這個結果在社會科學和醫學科學統計中經常遇到^[1][2][3]， 當頻率數據被不恰當地給出因果解釋時尤其成問題^[4]。當干擾變數和因果關係在統計建模中得到適當處理時，這個悖論就可以得到解決^[4][5]。 辛普森悖論已被用來說明統計誤用可能產生的誤導性結果^[6][7]。

定量數據的辛普森悖論：兩個獨立的小組出現正的趨勢（ ,  ），而當小組合併時出現負的趨勢（ ）。

辛普森悖論在類似於現實世界變異性的數據上的可視化表明，誤判真實關係的風險可能難以發現。

該現象於20世紀初就有人討論，但一直到1951年，愛德華·H·辛普森在他發表的論文中闡述此一現象後，該現象才算正式被描述解釋。後來就以他的名字命名此悖論，即辛普森悖論。此悖論的最終原因和選擇偏差（英語：selection bias）、倖存者偏差、以及柏克森悖論（英語：Berkson's paradox）一樣，是源自對撞因子（存疑！應為混淆變數(confounder)）。

舉例

一所美國高校的兩個學院，分別是法學院和商學院。新學期招生，人們懷疑這兩個學院有性別歧視。現作如下統計：

法學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合計	59	146	205

商學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	91.1%
合計	293	59	352

根據上面兩個表格來看，女生在兩個學院都被優先錄取，即女生的錄取比率較高。現在將兩學院的數據匯總：

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合計	352	205	557

在總評中，女生的錄取比率反而比男生低。

女生單獨兩個矢量斜率都比男生大，說明它們的比率都比較高。但最後男生母體向量斜率卻大於女生

藉助一幅向量圖可以更好的了解情況（右圖）

這個例子說明，簡單的將分組數據相加匯總，是不能反映真實情況的。

就上述例子說，導致辛普森悖論有兩個前提。

1. 兩個分組的錄取率相差很大，就是說法學院錄取率很低，而商學院卻很高。而同時兩種性別的申請者分布比重相反。女性申請者的大部分分布在法學院，相反，男性申請者大部分分布於商學院。結果在數量上來說，拒收率高的法學院拒收了很多的女生，男生雖然有更高的拒收率，但被拒收的數量卻相對不算多。而錄取率很高的商學院錄取了很多男生，使得最後匯總的時候，男生在數量上反而占優。
2. 有潛在因素影響著錄取情況。就是說，性別並非是錄取率高低的唯一因素，甚至可能是毫無影響的。至於在學院中出現的比率差，可能是隨機事件。又或者是其他因素作用，比如入學成績，卻剛好出現這種錄取比例，使人誤認為這是由性別差異而造成的。

為了避免辛普森悖論的出現，就需要斟酌各分組的權重，並乘以一定的係數去消除以分組數據基數差異而造成的影響。同時，我們必需清楚了解情況，以綜合考慮是否存在造成此悖論的潛在因素。

相關條目

• 區群謬誤

參考文獻

Skript zur Statistik in der Naturwissenschaften(Gerhard Osius, Universität Bremen)

1. Clifford H. Wagner. Simpson's Paradox in Real Life. The American Statistician. February 1982, 36 (1): 46–48. JSTOR 2684093. doi:10.2307/2684093.
2. Holt, G. B. (2016). Potential Simpson's paradox in multicenter study of intraperitoneal chemotherapy for ovarian cancer. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Journal of Clinical Oncology, 34(9), 1016–1016.
3. Franks, Alexander; Airoldi, Edoardo; Slavov, Nikolai. Post-transcriptional regulation across human tissues. PLOS Computational Biology. 2017, 13 (5): e1005535. Bibcode:2017PLSCB..13E5535F. ISSN 1553-7358. PMC 5440056 . PMID 28481885. arXiv:1506.00219 . doi:10.1371/journal.pcbi.1005535.
4. Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.
5. Kock, N., & Gaskins, L. (2016). Simpson's paradox, moderation and the emergence of quadratic relationships in path models: An information systems illustration. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） International Journal of Applied Nonlinear Science, 2(3), 200–234.
6. Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". The American Statistician, 49 (1): pp. 24–28.
7. Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons ISBN 0-471-36093-7