赫維茲矩陣

數學上的赫維茲矩陣或赫爾維茨矩陣（Hurwitz matrix）或勞斯–赫爾維茨矩陣（Routh–Hurwitz matrix），或是工程學中穩定性矩陣，都是結構化的實數方塊矩陣，由實係數多項式的係數所組成。

另外，在工程學及穩定性理論中的赫維茲矩陣（Hurwitz matrix）或赫維茲穩定矩陣（Hurwitz stable matrix），是指每個特徵值其實部都為負值的矩陣。

赫維茲矩陣和赫維茲穩定性準則

給定一個實係數的多項式

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

則${\displaystyle n\times n}$方塊矩陣

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

即為對應多項式${\displaystyle p}$的赫維茲矩陣，此多項式是阿道夫·赫維茲在1895年提出的，他提到 實係數多項式是穩定多項式（所有的根實部都為負值）若且唯若赫維茲矩陣的所有矩陣的首主序子式${\displaystyle H(p)}$均為正：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

以下省略。

子式${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$稱為赫維茲判別式（英語：Hurwitz determinant）。

赫維茲穩定矩陣

在工程學及穩定性理論中，方塊矩陣${\displaystyle A}$稱為穩定矩陣（stable matrix）、赫維茲矩陣（Hurwitz matrix）若矩陣${\displaystyle A}$的每個特徵值其實部都為負值，也就是

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,}$

針對每個特徵值${\displaystyle \lambda _{i}}$。矩陣${\displaystyle A}$也稱為穩定性矩陣（stability matrix），因為若上述條件成立以下的常微分方程

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

是漸近穩定，當${\displaystyle t\to \infty }$時，${\displaystyle x(t)\to 0}$。

若${\displaystyle G(s)}$是（矩陣型的）傳遞函數，此傳遞函數稱為赫維茲傳遞函數的條件是若${\displaystyle G}$中所有元素的極點都有負的實部。此條件不需要${\displaystyle G(s)}$在特定的${\displaystyle s}$下為赫維茲矩陣，${\displaystyle G(s)}$也不需要是方陣。

赫維茲傳遞函數和赫維茲矩陣的關係如下：若${\displaystyle A}$是赫維茲矩陣，則以下的動力系統

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

有赫維茲傳遞函數。

任何連續動力系統的雙曲不動點（或平衡點）都有局部李雅普諾夫穩定性若且唯若動力系統的雅可比矩陣在不動點處是赫維茲穩定。

赫維茲穩定矩陣是控制理論中重要的內容之一。一系統穩定的條件是其控制矩陣為赫維茲穩定矩陣，矩陣特徵值的負實部表示是負反饋。若其中有任何一個的實部為正，表示系統有正回饋，此系統不穩定。

參考資料

• Hurwitz, A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Mathematische Annalen, Leipzig. 1895, (Nr. 46): 273–284.
• Gantmacher, F.R. Applications of the Theory of Matrices. Interscience, New York. 1959, 641 (9): 1–8.
• Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix^{[永久失效連結]}, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
• Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
• Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

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外部連結

• Hurwitz matrix. PlanetMath.