薛丁格-牛頓方程

薛丁格-牛頓方程（英語：Schrödinger–Newton equation），亦稱為牛頓-薛丁格方程（Newton–Schrödinger equation）、薛丁格-泊松方程（Schrödinger–Poisson equation），是引入了牛頓引力勢的非線性薛丁格方程，其中引力勢來自作為質量密度處理的波函數，使該方程與通常的薛丁格方程相比多出了表示粒子與其自身引力場相互作用的一項。這一包含自相互作用的項是對經典量子力學原則的根本改變。^[1]該方程既可以寫成單個積分-微分方程，也可以寫成一個薛丁格方程和一個泊松方程的耦合系統。

薛丁格-牛頓方程最初由魯菲尼（Ruffini）和博納佐拉（Bonazzola）^[2]在研究自引力玻色子星時引入。在經典廣義相對論的背景下，它是彎曲時空中的克萊因-戈爾登方程或狄拉克方程加上愛因斯坦場方程的非相對論極限。^[3]該方程可以描述模糊暗物質（英語：Fuzzy cold dark matter），並在粒子質量很大的極限下可以用來近似弗拉索夫-泊松方程（英語：Vlasov equation）描述的經典冷暗物質。^[4]

此後，拉喬斯·迪西（Lajos Diósi）^[5]與羅傑·彭羅斯^[6][7][8]亦提出該方程，以作為解釋量子波函數坍縮的模型，並為其命名「薛丁格-牛頓方程」。在此一背景下，物質具有量子屬性，而引力則在基本層面上仍是經典的。因此，薛丁格-牛頓方程也可作為測試量子引力必要性的一種方法。 ^[9]

最後，薛丁格-牛頓方程還表現為大量粒子系統中相互引力作用的哈特里近似（Hartree approximation）。在此種背景下，菲利普·喬夸德（Philippe Choquard）於1976 年洛桑庫侖系統研討會上提出了一個對應的電磁庫侖相互作用的方程來描述單組分電漿體。埃利奧特·利布證明了定基態的存在性和唯一性，並將該方程稱為喬夸德方程（Choquard equation）。 ^[10]

概述

薛丁格-牛頓方程是在普通薛丁格方程中引入了自相互作用引力勢得到的一個耦合系統

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi +m\Phi \Psi \,,}$

其中V是普通勢，引力勢${\displaystyle \Phi }$則表示粒子與其自身引力場的相互作用，滿足泊松方程

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi Gm|\Psi |^{2}\,.}$

由於波函數與引力勢的耦合中，這是一個非線性系統。

方程的積分-微分形式是

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V-Gm^{2}\int {\frac {|\Psi (t,\mathbf {y} )|^{2}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \right]\Psi \,.}$

該形式是在假設勢必須在無窮遠處消失的情況下，通過對泊松方程的積分而得到的。

參考文獻

1. van Meter, J. R., Schrödinger–Newton 'collapse' of the wave function, Classical and Quantum Gravity, 2011, 28 (21): 215013, arXiv:1105.1579 , doi:10.1088/0264-9381/28/21/215013
2. Ruffini, Remo; Bonazzola, Silvano, Systems of Self-Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State, Physical Review, 1969, 187 (5): 1767–1783, Bibcode:1969PhRv..187.1767R, doi:10.1103/PhysRev.187.1767
3. Giulini, Domenico; Großardt, André, The Schrödinger–Newton equation as a non-relativistic limit of self-gravitating Klein–Gordon and Dirac fields, Classical and Quantum Gravity, 2012, 29 (21): 215010, Bibcode:2012CQGra..29u5010G, arXiv:1206.4250 , doi:10.1088/0264-9381/29/21/215010
4. Mocz, Philip; Lancaster, Lachlan; Fialkov, Anastasia; Becerra, Fernando; Chavanis, Pierre-Henri. Schrödinger-Poisson–Vlasov-Poisson correspondence. Physical Review D. 2018, 97 (8): 083519. Bibcode:2018PhRvD..97h3519M. ISSN 2470-0010. S2CID 53956984. arXiv:1801.03507 . doi:10.1103/PhysRevD.97.083519.
5. Diósi, Lajos, Gravitation and quantum-mechanical localization of macro-objects, Physics Letters A, 1984, 105 (4–5): 199–202, Bibcode:1984PhLA..105..199D, arXiv:1412.0201 , doi:10.1016/0375-9601(84)90397-9
6. Penrose, Roger, On Gravity's Role in Quantum State Reduction, General Relativity and Gravitation, 1996, 28 (5): 581–600, doi:10.1007/BF02105068
7. Penrose, Roger, Quantum computation, entanglement and state reduction, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 1998, 356 (1743): 1927–1939, Bibcode:1998RSPTA.356.1927P, doi:10.1098/rsta.1998.0256
8. Penrose, Roger, On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction, Foundations of Physics, 2014, 44 (5): 557–575, Bibcode:2014FoPh...44..557P, doi:10.1007/s10701-013-9770-0
9. Carlip, S., Is quantum gravity necessary?, Classical and Quantum Gravity, 2008, 25 (15): 154010, Bibcode:2008CQGra..25o4010C, arXiv:0803.3456 , doi:10.1088/0264-9381/25/15/154010
10. Lieb, Elliott H., Existence and uniqueness of the Minimizing Solution of Choquard's Nonlinear Equation, Studies in Applied Mathematics, 1977, 57 (2): 93–105, Bibcode:1977StAM...57...93L, doi:10.1002/sapm197757293