自守數

自守數（Automorphic Number，中國大陸一些文獻中也稱為同構數）：是其任意次冪的末幾位數字等於這個數本身的數。在十進制數字中，5、6、25、76、376、625、……（OEIS數列A003226）都是自守數。如果一個數是自守數，則它必定滿足${\displaystyle x^{m}\equiv x{\pmod {n}}}$。

在十進制的${\displaystyle k}$位數中，最多有兩類自守數，一個個位數字為5，另一個個位數字為6。一個形式為${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {2^{k}}},n\equiv 1{\pmod {5^{k}}}}$；另一個形式為${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {2^{k}}},n\equiv 0{\pmod {5^{k}}}}$。其和必定為${\displaystyle 10^{k}+1}$。

類似的，自守數可以推廣到高次。如果把原來意義上的自守數稱為2階的話，把形如${\displaystyle 749^{3}=420189749\,\!}$的數稱為3階自守數。

3階自守數的列表：1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249……（OEIS數列A033819）

外部連結

• 透視自守數 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），中華民國第四十四屆中小學科學展覽會，彭冠銓，陳衍方，馮冠霖，張恆豪著。
• 埃里克·韋斯坦因. 自守数. MathWorld.