耦合 (機率)

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耦合，或稱關聯結構（英語：Copula），為處理統計中隨機變數相關性問題的一種方法，由一組隨機變數的邊際分布來確定它們的聯合分布。通過關聯結構來確定一個聯合分布的方法是基於如下思想，一個簡單轉換可以通過分別將每個邊際分布都轉換為平均分布的轉換組成。這樣，一個關聯結構（dependence structure）就可以表達為一個基於上述所得平均分布之上的聯合分布，而關聯結構（copula）即是邊際均勻隨機變數之上的一個聯合分布。在實際應用中，上述的轉換可能被設置為每個邊際變量的初始化步驟，或者上述轉換的參數可能根據具體關聯結構的對應參數設置。

按照所表達的關聯關係的不同，關聯結構被分為很多不同類別。典型情況下，一個種類的關聯結構有多個參數用來表達不同的關聯強度和關聯類型。下面將大概描述一些有代表性的關聯結構。關聯結構的一個典型應用是，通過選擇某一種類的關聯結構來定義某一適合特定樣本數據分布的聯合分布，當然關聯結構也可以來自於任何相應的給定聯合分布。

基本思想

考察兩個隨機變數${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$，分別具有連續累積分布函數${\displaystyle F_{X}}$和${\displaystyle F_{Y}}$。通過分別在兩個隨機變數上應用機率積分轉換，得到${\displaystyle X'=F_{X}(X)}$ 和${\displaystyle Y'=F_{Y}(Y)}$。因此${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$都是具有連續均勻分布的變量，相關性通常取決於${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是否是相關（自然，如果${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是不相關的，那麼${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$也是不相關的）。因為這個轉換是可逆的，可以定義${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$之間的相關性等於${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$之間的相關性。因為${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$是均勻分布的隨機變數，所以問題被簡化為定義一個在兩個均勻分布之上的二項分布，這就是關聯結構。所以，這一基本思想就是，通過把邊際變量轉化為均勻分布變量而不再需要考察很多不同的邊際分布以簡化問題，然後再把相關性定義為一個在均勻分布之上的聯合分布。

定義

一個 關聯結構是一個定義在${\displaystyle n}$維單位立方體${\displaystyle [0,1]^{n}}$上的多元聯合分布，其每個邊際分布都是在${\displaystyle [0,1]}$區間上的均勻分布。

特別的，${\displaystyle C:[0,1]^{n}\to [0,1]}$是一個n維關聯結構，有

${\displaystyle C\left(\mathbf {u} \right)=0}$當${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$有至少一個分量為${\displaystyle 0;}$

${\displaystyle C\left(\mathbf {u} \right)=u_{i}}$當${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$所有分量為${\displaystyle 1}$除了第i個分量等於${\displaystyle u_{i};}$

${\displaystyle C\left(\mathbf {u} \right)}$是n維遞增的，也即，有每個hyperrectangle ${\displaystyle B=\times _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n};}$

${\displaystyle V_{C}\left(B\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \times _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0;}$

其中${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\operatorname {card} \{k\mid z_{k}=x_{k}\}}$。${\displaystyle V_{C}\left(B\right)}$所謂的${\displaystyle B}$的C-體積（volume）。

Sklar定理

由Sklar提出的這條定理^[1]是大多數關聯結構的應用的基礎。Sklar定理指出，一個給定的${\displaystyle p}$個變量的聯合分布函數${\displaystyle H}$，${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots ,F_{p}}$為其邊際分布函數，必存在這樣一個關聯結構${\displaystyle C}$使${\displaystyle H=C(F_{1},F_{2},F_{3},\ldots ,F_{p})}$

以二項分布為例，Sklar定理應用如下。對任一二項分布函數${\displaystyle H(x,y)}$，令${\displaystyle F(x)=H(x,\infty )}$ 而${\displaystyle G(y)=H(\infty ,y)}$為其單變量邊際機率分布函數。那麼存在關聯結構${\displaystyle C}$以使

${\displaystyle H(x,y)=C(F(x),G(y))\,}$

（此處已知分布${\displaystyle C}$和它的累積分布函數）。此外，如果邊際分布${\displaystyle F(x)}$ 和${\displaystyle G(y)}$連續，那麼關聯結構函數${\displaystyle C}$是唯一的。否則，關聯結構${\displaystyle C}$在邊際分布的值域上是唯一確定的。

弗雷歇–霍夫丁（Fréchet–Hoeffding）關聯結構邊界

Graphs of the Fréchet–Hoeffding copula limits and of the independence copula (in the middle).

最小（反單調）關聯結構：是所有關聯結構的下邊界。僅在二項分布中，變量間表現為完全負相關。

${\displaystyle W(u,v)=\max(0,u+v-1).\,}$

對n-元關聯結構，下邊界為

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n}):=\max \left\{1-n+\sum \limits _{i=1}^{n}{u_{i}},0\right\}\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n}).}$

最大 （共單調 ） 關聯結構：是所有關聯結構的上邊界。其在二項分布中，變量間表現為完全正相關：

${\displaystyle M(u,v)=\min(u,v).\,}$

對n-元關聯結構，上邊界為

${\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq \min _{j\in \{1,\ldots ,n\}}u_{j}=:M(u_{1},\ldots ,u_{n}).}$

結論：對所有關聯結構C（u, v）,

${\displaystyle W(u,v)\leq C(u,v)\leq M(u,v).}$

對於多元關聯的情況為

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq M(u_{1},\ldots ,u_{n}).}$

關聯結構種類

常態關聯結構

Cumulative distribution and probability density functions of Gaussian copula with ${\displaystyle \rho =0.4}$

在金融建模中常用到的一個關聯結構是常態關聯結構，常態關聯結構是根據Sklar定理由二元常態分布構成。設${\displaystyle \Phi _{\rho }}$是標準二元常態累積分布函數，相關係數為ρ，則常態關聯結構函數為

${\displaystyle C_{\rho }(u,v)=\Phi _{\rho }\left(\Phi ^{-1}(u),\Phi ^{-1}(v)\right)}$

其中，${\displaystyle u,v\in [0,1]}$而${\displaystyle \Phi }$表示標準常態累積分布函數。

對C微分得出關聯結構的密度函數：

${\displaystyle c_{\rho }(u,v)={\frac {\varphi _{X,Y,\rho }(\Phi ^{-1}(u),\Phi ^{-1}(v))}{\varphi (\Phi ^{-1}(u))\varphi (\Phi ^{-1}(v))}}}$

其中

${\displaystyle \varphi _{X,Y,\rho }(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{x^{2}+y^{2}}-2\rho xy\right]\right)}$

是皮爾森矩相關係數為${\displaystyle \rho }$標準二元常態分布的機率密度函數，其標準常態密度為${\displaystyle \varphi }$。

參考資料

1. Sklar, A. Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. 1959, 8: 229–231.