線性生成空間

在數學分支線性代數之中，向量空間中一個向量集合的線性生成空間（linear span，也稱為線性包 linear hull），是所有包含這個集合的線性子空間的交集，從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

定義

給定域 K 上的向量空間 V，集合 S（不必有限）的生成空間定義為所有包含 S 的線性子空間 V 的交集 W，稱 W 為由 S（或 S 中的向量）生成的子空間。

如果 ${\displaystyle S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,}$ 是 V 的有限子集，則生成空間為

${\displaystyle {\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.}$

解釋

S 的生成空間也可定義為 S 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證：S 中向量的有限線性組合的集合是包含 S 的一個向量空間，反之任何包含 S 的向量空間必然都包含 S 中向量的有限組合，故兩個定義是等價的。

如果 S 的生成空間是 V，則 S 稱為 V 的生成集合（spanning set）。V 的一個生成集合不必是 V 的一組基，因其不必是線性無關的。但是，對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說，V 的生成集合是一組基若且唯若 V 的任何向量可以唯一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。

如果 V 是無限維向量空間，S 是無窮集合，則 S 中的無限個向量的線性組合（如果收斂的話）不一定屬於 S 的生成空間。

例子

• 實向量空間 R³ 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合，這個生成集合事實上是一組基。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基，因為它們不是線性獨立的。

• 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R³ 的生成集合；它的生成空間是 R³ 中最後一個分量為零的向量組成的空間。

• 設 V={ (x,y,z) ∈R³ |x+y-z=0 }，則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一個生成集合，也是一組基。

定理

定理 1：向量空間 V 的非空集合 S 生成的子空間是 S 中向量的所有有限線性組合；

如注釋中所說，這個定理如此熟知，以至有時也作為一個集合的生成空間的定義。

定理 2：設 V 是一個有限維向量空間，則 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量（如果必要的話）可以簡化為 V 的一組基。

取 V 任意一組基（有限集），將這組基表示為 S 中一些向量的有限組合，只用到 S 中有限個向量，這有限個向量的生成集合包含這組基，從而包含 V，故第一步可將 S 簡化為有限集；如果 S 中向量不是線性無關的，則至少有一個向量能寫成其他向量的組合，去掉這個向量剩下的也能生成 V。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關，這便簡化為一組基了。

這也說明當 V 是有限維時，一組基是極小生成集合。

性質

• 假設 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ 是向量空間 V 中 n 個向量，那麼

${\displaystyle {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).}$

• n 個向量生成空間的維數不大於 n，等於 n 若且唯若這些向量線性無關。
• 假設 ${\displaystyle S}$ 與 ${\displaystyle S'}$ 是向量空間 ${\displaystyle V}$ 中兩個集合，則有：
  • ${\displaystyle S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');}$
  • ${\displaystyle {\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').}$

線性生成空間與直和

設${\displaystyle U}$與${\displaystyle V}$是線性空間${\displaystyle W}$的兩個線性包，線性包${\displaystyle \left\langle U\cup V\right\rangle }$稱為${\displaystyle U}$與${\displaystyle V}$的和, ${\displaystyle U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}}$,如果${\displaystyle U\cap V=0}$，則稱${\displaystyle U+V}$為直和，記為${\displaystyle U\oplus V}$

參考文獻

• M.I. Voitsekhovskii, Linear hull, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 藍以中，《高等代數簡明教程》（上冊），北京大學出版社，2002年8月。
• 《代數學引論（第二卷）》/（俄）A.H.柯斯特利金著；牛鳳文譯.-北京：高等教育出版社，2008.1 ISBN：978-7-040-21491-8