諾伊曼邊界條件

在數學中，諾伊曼邊界條件（Neumann boundary condition) 也被稱為常微分方程或偏微分方程的「第二類邊界條件」。諾伊曼邊界條件指定了微分方程的解在邊界處的微分。

在常微分方程情況下，如

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

在區間${\displaystyle [0,1]}$， 諾伊曼邊界條件有如下形式：

${\displaystyle y'(0)=\alpha _{1}}$

${\displaystyle y'(1)=\alpha _{2}}$

其中${\displaystyle \alpha _{1}}$和${\displaystyle \alpha _{2}}$是給定的數值。

一個區域${\displaystyle \Omega \subset R^{n},}$上的偏微分方程，如

${\displaystyle \Delta y+y=0}$

(${\displaystyle \Delta }$表示拉普拉斯算子)，諾伊曼邊界條件有如下的形式：

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

這裡，${\displaystyle \nu }$表示邊界${\displaystyle \partial \Omega }$處(向外的)法向；${\displaystyle f}$是給定的函數。法向定義為

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=\nabla y(x)\cdot \nu (x)}$

其中∇是梯度，圓點表示內積。

參看

• 狄利克雷邊界條件