索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理

索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula,^[1] 或 魏爾斯特拉斯定理（勿與其他同名魏爾斯特拉斯定理混淆）是複分析中的一個定理，用於計算很多問題中出現的柯西主值。物理學問題中很多見，但鮮有其命名的引用。該定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。

定理陳述

令ƒ為定義在實數軸上的連續函數，a與b為實常數，滿足a < 0 < b。則

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,}$

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$表示柯西主值。

定理證明

簡單證明如下：

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

注意到第一項 ${\displaystyle \varepsilon /(\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2}))}$ 為狄拉克δ函數之先趨函數，在此極限下趨近狄拉克δ函數。 因此第一項等於 ${\displaystyle \mp i\pi f(0)}$.

第二項，注意到因子在當 |x| >> ε時，${\displaystyle x^{2}/(x^{2}+\varepsilon ^{2})}$趨近於1；當|x| << ε時趨近於0並關於零對稱。 因此極限下為柯西主值積分。

物理應用

在量子力學和量子場論中，經常需要計算如下形式的積分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\exp(-iEt)\,dt\,dE,}$

其中E為能量，t為時間。 上式對時間積分不收斂，因此一般需為t加入一個負的常係數，然後再令其趨於0。

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)\,dt\,dE}$

${\displaystyle =-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,}$

其中最後一步用到了該定理。

在電漿體物理中，推導朗道阻尼的過程中使用到該定理，從而揭示了波在無碰撞過程中亦存在阻尼現象。

參考文獻

1. Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin. Mathematical Methods in Physics. Boston: Birkhauser. 2003. ISBN 0817642285. Example 3.3.1 4.

• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations. Cambridge Univ. Press. 1995. ISBN 0-521-55001-7. Chapter 3.1.
• Merzbacher, Eugen. Quantum Mechanics. Wiley, John & Sons, Inc. 1998. ISBN 0-471-88702-1. Appendix A, equation (A.19).

提及該定理名稱的引用

• Quantum Theory of Many-body Systems: Techniques and Applications by Alexandre M. Zagoskin, p60
• Relativistic effects in proton-induced deuteron break-up at intermediate energies with forward emission of a fast proton pair
• Two-dimensional Coulomb Liquids and Solids, Yuriy Monarkha, p259