算術-幾何平均數

兩個正實數${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的算術-幾何平均數定義如下：

首先計算${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$算術平均數（相加平均），稱其為${\displaystyle a_{1}}$。然後計算${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$幾何平均數（相乘平均），稱其為${\displaystyle g_{1}}$；這是${\displaystyle xy}$的算術平方根。

${\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}}$

${\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.}$

然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列${\displaystyle \{a_{n}\}}$和${\displaystyle \{g_{n}\}}$：

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}}$

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.}$

這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的算術-幾何平均數，記為${\displaystyle M(x,y)}$，或${\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)}$。

例子

欲計算${\displaystyle a_{0}=24}$和${\displaystyle g_{0}=6}$的算術-幾何平均數，首先算出它們的算術平均數和幾何平均數：

${\displaystyle a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,}$

${\displaystyle g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,}$${\displaystyle 12}$

然後進行迭代：

${\displaystyle a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,}$

${\displaystyle g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,}$${\displaystyle 13.416407864999}$ etc.

繼續計算，可得出以下的值：

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416407864999...
3	13.458203932499...	13.458139030991...
4	13.458171481745...	13.458171481706...

24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限，大約為13.45817148173。

性質

${\displaystyle M(x,y)}$是一個介於${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的算術平均數和幾何平均數之間的數。

如果${\displaystyle r>0}$，則${\displaystyle M(rx,ry)=rM(x,y)}$。

${\displaystyle M(x,y)}$還可以寫為如下形式：

${\displaystyle \mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}}$

其中${\displaystyle K(x)}$是第一類完全橢圓積分。

1和${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的算術-幾何平均數的倒數，稱為高斯常數。

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$

存在性的證明

由算術幾何不等式可得

${\displaystyle g_{n}\leqslant a_{n}}$

因此

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$

這意味著 ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ 是不降序列。同時，因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間，又可以得到該序列是有上界的（${\displaystyle x,y}$ 中的較大者）。根據單調收斂定理，存在 ${\displaystyle g}$ 使得:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$

然而，我們又有:

${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$

從而:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$

證畢。

關於積分表達式的證明

該證明由高斯首次提出^[1]。 令

${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$

將積分變量替換為 ${\displaystyle \theta '}$, 其中

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$

於是可得

${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

因此，我們有

${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}}$

最後一個等式可由 ${\displaystyle I(z,z)={\frac {\pi }{2z}}}$ 推出。

於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式：

${\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.}$

參考文獻

引用

1. David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (編). Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481 [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. （原始內容存檔於2020-06-14）. first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330

來源

• Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
• 埃里克·韋斯坦因. Arithmetic-Geometric mean. MathWorld.

參見

• 算術平均數
• 幾何平均數