等角螺線

等角螺線、對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標系${\displaystyle (r,\theta )}$中，這個曲線可以寫為

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

等角螺線

或

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ \ln \left({\frac {r}{a}}\right)\ ,}$

因此叫做「對數」螺線。

定理

• 等角螺線的臂的距離以幾何級數遞增。
• 設${\displaystyle L}$為穿過原點的任意直線，則${\displaystyle L}$與等角螺線的相交的角永遠相等（故其名），而此值為${\displaystyle \cot ^{-1}b}$。
• 設${\displaystyle C}$為以原點為圓心的任意圓，則${\displaystyle C}$與等角螺線的相交的角永遠相等，而此值為${\displaystyle \tan ^{-1}b}$，名為「傾斜度」
• 等角螺線是自我相似的；這即是說，等角螺線經放大後可與原圖完全相同。
• 等角螺線的漸屈線和垂足曲線都是等角螺線。
• 從原點到等角螺線的任意點上的長度有限，但由那點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由托里拆利發現的。

歷史

雅各布·白努利的墓碑，下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。

等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布·白努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻師誤將阿基米德螺線（等速螺線）刻了上去。

自然現象

鸚鵡螺的貝殼像等角螺線

旋渦星系的旋臂像等角螺線

低氣壓的外觀像等角螺線

• 鸚鵡螺的貝殼像等角螺線
• 菊的種子排列成等角螺線
• 鷹以等角螺線的方式接近它們的獵物
• 昆蟲以等角螺線的方式接近光源
• 蜘蛛網的構造與等角螺線相似
• 旋渦星系的旋臂差不多是等角螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12°。
• 低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺線

構造等角螺線

• 在複平面上定義一個複數${\displaystyle z=a+bi}$，其中${\displaystyle a,b\neq 0}$，那麼連結${\displaystyle z,z^{2},z^{3},\ldots }$的曲線就是一條等角螺線。

複平面上的等角螺線

• 若${\displaystyle L}$是複平面中的一條直線且不平行於實數或虛數軸，那麼指數函數${\displaystyle e^{z}}$會將這些直線映像到以 0 為中心的等角螺線。
• 使用黃金矩形：

黃金長方形中的等角螺線

• 在平面上, 質點圍繞原點逐漸離開, 相對於原點的角速度恆定, 且相對於原點的距離以等比例增長, 則其軌跡為等角螺線。這是因為${\displaystyle r=ae^{b\theta },r'=ae^{b\theta '}}$，則有${\displaystyle r'/r=e^{b(\theta '-\theta )}}$。

參見

• 雙曲螺線
• 圓內螺線
• 柯奴螺線
• 費馬螺線
• 連鎖螺線
• 阿基米德螺線

引用

• 埃里克·韋斯坦因. Logarithmic Spiral. MathWorld.
• Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, University of Georgia (1999)
• Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, at cut-the-knot

外部連結

• Spira mirabilis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 等角螺線的歷史和數學