磁通量

磁通量，符號為 ${\displaystyle \Phi _{B}}$，是通過某給定曲面的磁場（亦稱為磁通量密度）的大小的度量。磁通量的國際單位制單位是韋伯。

描述

給定曲面上的磁通量大小與通過曲面的磁場線的個數成正比。此處磁場線的個數是個「淨」數量，即從一個方向上通過的個數減去另一個方向上通過的個數。當一個均勻磁場垂直通過一個平面，磁通量即是磁場與該平面面積的乘積。當均勻磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$以任意角度通過一個平面，磁通量即是磁場與該平面面積${\displaystyle \mathbf {a} }$的點積。^[1]

${\displaystyle \displaystyle \Phi _{B}=\mathbf {B} \cdot \mathbf {a} =Ba\cos \theta }$   

其中，${\displaystyle \theta }$是磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$和平面面積法向量${\displaystyle \mathbf {a} }$的夾角.

圖1：曲面積分的定義基於將曲面分割成小的曲面元。每個曲面元對應一個向量${\displaystyle d\mathbf {S} }$。該向量的大小即曲面元的面積，方向為指向外部的法向量。

圖2：曲面法向量的向量場。

在一般情況下，磁通量是通過磁場在曲面面積上的積分定義的（見圖1和圖2）。

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$

其中，${\displaystyle \Phi _{B}\ }$為磁通量，${\displaystyle \mathbf {B} }$為磁感應強度，${\displaystyle S}$為曲面，${\displaystyle \cdot }$為點積，${\displaystyle d\mathbf {S} }$為無窮小向量（見曲面積分）。

磁通量通常通過通量計進行測量。通量計包括測量線圈以及估計測量線圈上電壓變化的電路，從而計算磁通量。

通過閉曲面的磁通量

主條目：高斯磁定律

高斯磁定律是四條馬克士威方程式之一，指出通過一閉曲面的磁通量為零。這定律是依據還沒有發現磁單極這一經驗得出的。

高斯磁定律為，對任意閉曲面：

${\displaystyle \Phi _{B}=\int \!\!\!\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$

通過開曲面的磁通量

主條目：法拉第電磁感應定律

圖3：空間中的向量場F ( r, t )以及曲面Σ。∂Σ為曲面Σ的邊界，以速度v運動。考慮向量場在曲線∂Σ上的積分。

即使通過閉曲面的磁通量是零，通過開曲面的磁通量可以不是零，而且，它是電磁學中一個重要的物理量。例如，當通過一個導電線環的磁通量發生變化，這一變化會引起電動勢的生成，並因此在線環中產生電流。其關係式可由法拉第電磁感應定律得出：

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-{d\Phi _{B} \over dt},}$

其中（見圖3）：

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$為電動勢

${\displaystyle \Phi _{B}}$為通過開曲面的磁通量，這一開曲面的邊界為${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$

${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$為一個隨時間變化的閉曲線

${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$是邊界${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$無窮小向量元

${\displaystyle \mathbf {v} }$是線段${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$的速度

${\displaystyle \mathbf {E} }$為電場

${\displaystyle \mathbf {B} }$為磁場

在上述公式中，電動勢的生成可以有兩種解釋：由勞侖茲力引起的電荷在閉合曲線${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$上的運動；通過開曲面${\displaystyle \Sigma (t)}$的磁通量。這一公式即是發電機的原理。

與電通量的比較

主條目：電通量和高斯定律

馬克士威方程式中的高斯電場定律為：

${\displaystyle \Phi _{E}=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={Q \over \epsilon _{0}},}$

其中

${\displaystyle \mathbf {E} }$為電場

${\displaystyle S}$為任意閉曲面

${\displaystyle Q}$為曲面${\displaystyle S}$包圍的電荷

${\displaystyle \epsilon _{0}}$為真空電容率。

注意，通過閉曲面的${\displaystyle \mathbf {E} }$的通量「並不總是」零，這裡指出電「單極」的存在，即自由的正負電荷。

磁通量的計算

磁通量Φ的表達式一、Φ=BSsinα其中α為磁場方向與平面夾角。 二、Φ=BScosα其中α為平面與平面在垂直於磁場方向上射影的夾角。 公式中磁通量的單位是馬克士威（Mx)，磁感應強度B的單位是高斯（Gs）單位平方厘米，或者是特斯拉（T）單位是平方米。

參考文獻

1. Douglas C Giancoli. Physics for scientists & engineers : with modern physics. 培生集團. 2009: 第760頁. ISBN 0131578499.

外部連結

• Vicci, 美國專利第6,720,855號：磁通量導管（專利）

參見

• 物理學主題

• 磁場：代表磁力線的密度。
• 馬克士威方程組：是一組四條偏微分方程式，被詹姆斯·馬克士威用作描述電場和磁場，以及它們與物質之間的交互作用。
• 高斯定律：給出從一密閉表面流出的電通量及表面圈住的電荷之間的關係式。
• 磁單極：是一種大概能不嚴謹地被形容為「只有單極的磁鐵」的理論粒子。
• 磁通量量子：是流經超導體的磁通量的量子。
• 卡爾·高斯：跟物理教授威廉·韋伯的合作發展出成果豐碩的研究；它使得磁學領域得到了新知識。
• 詹姆斯·馬克士威：證明了電力和磁力是電磁的兩個互補層面。
• 法拉第弔詭：關於法拉第電磁感應定律的弔詭。