皮亞諾存在性定理

在數學中, 特別是在常微分方程的研究中，皮亞諾存在定理（又稱為皮亞諾定理、柯西-皮亞諾定理）是以數學家朱塞佩·皮亞諾的名字命名的一個定理。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保證了微分方程在一定的初始條件下的解的存在性。

歷史

這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表，但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

定理

設 D 為R × R 的一個開子集，以及一個連續函數：

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$

皮亞諾存在定理：定義在 D 上的一個一階線性常微分方程（其中 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$）

${\displaystyle f\left(x,y(x)\right)=y'(x)}$

${\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}$

必然有局部解。也就是說，必定存在一個關於 ${\displaystyle x_{0}}$ 的鄰域 I，以及一個函數：

${\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }$

滿足${\displaystyle \forall x\in I,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x)}$。

相關定理

皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理，皮卡-林德洛夫定理對函數 ${\displaystyle f}$ 的要求更嚴格，但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函數 ${\displaystyle f}$ 局部地滿足利普希茨條件，也就是說在任意一點 x 的附近，都有一個常數 ${\displaystyle K_{x}}$ 和一個鄰域 ${\displaystyle I_{x}}$，使得對於${\displaystyle I_{x}}$中任意的${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$兩點，都有：

${\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K_{x}|a-b|}$。

這個要求比單純的連續性要高，但是得出的結論也更強了：皮卡-林德洛夫定理說明，在滿足上述要求時，微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。

例子

設${\displaystyle T>0}$為一個常數，考慮函數

${\displaystyle h'=\left\vert h\right\vert ^{\frac {1}{2}},\ \ \ y(T)=0}$，其定義域設為 ${\displaystyle \left[0,T\right]}$。

根據皮亞諾存在定理，由於函數${\displaystyle f:x\to \left\vert x\right\vert ^{\frac {1}{2}}}$在${\displaystyle \left[0,T\right]}$上連續，微分方程有解。但由於 ${\displaystyle f}$ 在0處的導數為正無窮，${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \left[0,1\right]}$上不滿足利普希茨條件，於是解不一定是唯一的。事實上：對於任意的${\displaystyle 0<t_{0}<T}$，定義為：當${\displaystyle t\leq t_{0}}$ 時 ${\displaystyle h(t)=(t-t_{0})^{2}/4}$，當 ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq T}$ 時 ${\displaystyle y=0}$的函數 ${\displaystyle h}$ 都是微分方程的解，也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型：假設有一個漏水的容器，其水面高度（函數${\displaystyle h}$）和時間的關係由以上的微分方程定義的話，那麼由於事實上可以觀測到漏水的過程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態（${\displaystyle y(T)=0}$）的話，是無法倒過來推測原來的水位有多高的（也就是說沒有唯一解）。

參考來源

• G. Peano, Sull』integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
• G. Peano, Demonstration de l』intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
• W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
• E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.