邏輯互斥或

在數位邏輯中，邏輯算符互斥或（英語：Exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型。與一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。^[1]

「異或」和「互斥或」均重新導向至此。關於邏輯閘，請見「互斥或閘」。

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}p\oplus q\end{smallmatrix}}}$ 的文氏圖

對於命題 ${\displaystyle p,q}$，${\displaystyle p}$互斥或${\displaystyle q}$通常記作${\displaystyle p\operatorname {XOR} q}$或${\displaystyle p\oplus q}$。在程式語言中，常寫作p ^ q。

邏輯互斥或相當於邏輯不等價，或者說邏輯互斥或的邏輯非是邏輯等價。

真值表

互斥或運算${\displaystyle p\oplus q}$的真值表如下：

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\oplus q}$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
註：True：真，False：假。

無論怎樣改變同一行中${\displaystyle p,q,p\oplus q}$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在數學和工程學中，常常用其他的邏輯運算子來表示互斥或算符。互斥或算符可以使用邏輯算符邏輯與${\displaystyle \land }$，邏輯或${\displaystyle \lor }$和邏輯非${\displaystyle \lnot }$表示為：

${\displaystyle {\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}}$

另外，互斥或算符可以被推廣，得到關於n個運算元的互斥或運算：n個運算元的n維互斥或的值為真若且唯若其中值為真的運算元有奇數個。

互斥或也可以被表示為：

${\displaystyle p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))}$

互斥或還可以看作是邏輯等價關係的非運算。

性質

交換律：${\displaystyle p\oplus q=q\oplus p}$

結合律：${\displaystyle p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r}$

恆等律：${\displaystyle p\oplus 0=p}$

歸零律：${\displaystyle p\oplus p=0}$

對合運算：${\displaystyle p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p}$

與抽象代數的關係

儘管算子${\displaystyle \wedge }$（邏輯合取）與${\displaystyle \lor }$（邏輯析取）是邏輯系統中最為常見的算子，但結構上，系統${\displaystyle (\{T,F\},\wedge )}$ and ${\displaystyle (\{T,F\},\lor )}$只是么半群。因此，這兩個系統無法合成為一個更大的結構，比如環或半環。

但是，帶有邏輯互斥或的系統${\displaystyle (\{T,F\},\oplus )}$是一個交換群。因此，算子${\displaystyle \wedge }$與${\displaystyle \oplus }$的結合在集合${\displaystyle \{T,F\}}$上作用就產生了最基本的二元域${\displaystyle F_{2}}$。這個域可以得出所有運用${\displaystyle (\land ,\lor )}$可以得到的結果，並且由於附帶了域的結構，可以進行代數上的進一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295		帶有赤道和一條經線的球體

應用

使用互斥或運算交換兩個 int 類型變數的數值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

參考來源

1. Germundsson, Roger; Weisstein, Eric. XOR. MathWorld. Wolfram Research. [17 June 2015]. （原始內容存檔於2015-09-05）.

參見

• 互斥或閘
• 互斥或密碼