狹義相對論中的質量

質量這一名詞在狹義相對論中通常是指物質在靜止時所測量的質量（靜質量）。這個意義的質量與牛頓力學的質量相同。不變質量是靜質量的另一名稱，但它通常是指由許多粒子構成的系統。

相對論性質量這一名詞也被使用，而這是一個物體所具有的總能量。物體的相對論性質量包括了它所具有的動能，因此取決於觀察者所處於的參考系。

用詞

如果一個盒子裝有許多粒子，它的重量會隨著這些粒子的速率的增加而增加。盒子裡的任何能量被加入盒子的質量中，因此這個盒子的質量受到這些粒子的相對運動的影響。然而，如果這整個盒子在運動，那麼這盒子所具有的動能是不是應該包括在物體的質量當中呢？不變質量不包括盒子的動能，而相對論性質量則包括了盒子的動能。

相對論性質量和靜質量都是物理學中的傳統概念，但相對論性質量只是總共能量的多餘的名稱。一個系統只有在靜止時其質量才有可能被測量，但當物體靜止時，物體的相對論性質量就是物體的靜質量。

物體的不變質量是在一個特定參考系中它所具有的總共能量，而在這個參考系中，該物體是靜止的。這也是不變質量也被稱作靜質量的緣故。這個特定的參考系也被稱作動量的質心系。質心系被定義成系統的總動量為零時所處於的參考系。對於一個合成的物體（由許多更小的物體組成，這些物體可能在運動）和一組沒有結合在一起的物體，只要總共的動量是零，相對論性質量便與不變質量相同。

如果一個物體以光速運動，它在任何參考系中都不會靜止。當觀察者朝著與這個物體運動的方向加速，該物體所具有的能量會越來越少。因此，我們可以推測這個物體的靜質量是零，而這個物體所具有的質量僅是相對論性質量，一個取決於觀察者的質量。

相對論性質量的概念

早期的發展：橫向與縱向質量

約瑟夫·湯木生在1881年^[1] 承認一個帶電的物體比一個沒有帶電的物體更難加速。因此靜電能量表現成某種電磁質量，增加了物體的機械質量。之後威廉·維因 （1900）^[2]和 Max Abraham （1902）^[3] 認為一個物體的總共質量與它的電磁質量相同。因為電磁質量取決於電磁能量，維因所提出的質能關係是${\displaystyle m=(4/3)E/c^{2}}$。

George Frederick Charles Searle 和湯木生也指出，電磁質量隨著物體的速度而增加。亨德里克·勞侖茲在他的勞侖茲以太理論的框架中承認這個說法。他將質量定義成所用力與加速度的比值而不是動量與速度的比值，因此他必須區分橫向質量（${\displaystyle \gamma ^{3}m_{0}}$）（當物體運動的方向與加速度相同或相反）和縱向質量（${\displaystyle \gamma m_{0}}$）（當物體運動的方向與加速度垂直）。只有當加速度與物體運動的方向垂直時，勞侖茲的質量才會等於現在被稱作相對論性質量的質量。（${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$是勞侖茲因子，v是物體與以太的相對速度，c是光速）。因此，根據這一理論沒有物體可以到達光速，因為物體的質量將趨於無限大。^[4][5]

而對於一個具有非零靜質量的粒子在x方向運動時所受到的作用力和加速度的準確表達是：

${\displaystyle f_{x}=\gamma ^{3}m_{0}a_{x},\,}$

${\displaystyle f_{y}=\gamma m_{0}a_{y},\,}$

${\displaystyle f_{z}=\gamma m_{0}a_{z}.\,}$

愛因斯坦在他1905年的論文中計算了橫向質量和縱向質量。^[6][7]然而，在他第一篇關於${\displaystyle E=mc^{2}}$的論文中（1905），m所代表的是現在認為的靜質量。^[8]一些人後來聲稱他不喜歡相對論性質量的想法。^[9]

現代相對論的概念

在狹義相對論中，就像勞侖茲以太理論，一個靜質量非零的物體無法以光速運動。當物體趨近於光速時，它的能量和動量將無限制的增加。

橫向質量和縱向質量被相對論性質量的概念取代。Richard C. Tolman 在1912年表示m₀(1 - v²/c²)^-1/2最適合用來表示運動物體的質量。^[10]

在1934年，Tolman也定義相對論性質量為：^[11]

${\displaystyle m={\frac {E}{c^{2}}}\!}$

這一定義對於所有粒子都適用，包括以光速運動的粒子。

對於以低於光速運動的粒子，即具有非零的靜質量的粒子，這方程式變成

${\displaystyle m=\gamma m_{0}\!}$

當相對速度為零時，${\displaystyle \gamma }$將等於1。當相對速度趨近光速時，${\displaystyle \gamma }$將趨近無限大。

在動量的方程式中

${\displaystyle p=mv}$

m所代表的質量是相對論性質量

牛頓第二運動定律以${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}},\!}$ 的形式表達仍然正確。但${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}}$並不是零，因為相對論性質量是速率的函數，因此牛頓第二運動定律不能以${\displaystyle f=ma}$來表示。

一個系統的質量

一個系統的靜質量並不等於組成這一系統的所有物體的靜質量的和，除非在這一系統中的所有物體在質心系是靜止的而不具有其它形式的能量（如場能）。一個系統所具有的靜質量等於它在質心系所具有的能量（包括場能）。 所以許多系統的總質量小於其中每個物體質量的和，如1個氫原子的靜止質量小於1電子質量＋1質子質量（由於電場能為負）。

相對論能量-動量方程式

上述E和p的相對論表示式可以轉寫成基礎的「相對論能量-動量方程式」：

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,\!}$

注意到此方程式裡的${\displaystyle m_{0}}$表示靜質量。這條方程式對無(靜)質量的光子而言也適用：

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=0\,\!}$

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}\,\!}$

${\displaystyle E=pc\,\!}$

${\displaystyle p=E/c\,\!}$

因此一顆光子的動量是其能量的函數，而非與其速度成正比，真空中的光速是常數。

考慮一個靜止的物體，上面第一條方程式中的動量p為零，我們得到：

${\displaystyle E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,\!}$

可以簡化為

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\,\!}$

顯示出這項知名的關係式僅在物體靜止時適用，並給出「靜止能量」的觀念。如果物體在運動，我們得到：

${\displaystyle E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}\,\!}$

從這裡，我們可以看到物體總能E和它的靜能量以及動量相依；一旦動量隨速度v增加而增加，總能量也會發生一樣的事。

這裡的E實際上等同於前面段落中的相對論性能量方程式，而那條能量方程式和相對論性質量方程式只差了一個因子c²。因此「相對論性質量本質上等於總能量」—，但是量值與單位有些差別。 當採用c = 1的單位(稱作自然單位系統)時，能量-動量方程式即簡化為：

${\displaystyle E^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}\,,\!}$

一旦${\displaystyle v=0}$，其簡化到${\displaystyle E^{2}=m_{0}^{2}}$,或${\displaystyle E=m_{0}}$。

狹義相對論中的質量守恆定律

能量是可加的守恆的量，但靜質量不是。這意味著當我們可以確認一系統是封閉的，該系統的靜質量和動量才會守恆。相對論性質量本質上就是能量，因此能量守恆定律就是相對論性質量守恆定律。

一個光子本身沒有靜質量。一個具有靜質量的粒子可以衰變成光子，然而這個由光子組成的系統卻具有靜質量，因此一個系統的靜質量並不等於組成它的粒子的靜質量的和。無論在衰變前後，這個封閉的系統的靜質量都是守恆的。

一個系統如果保持相同的靜質量，它必須是封閉的，以致沒有能量（可能是熱或輻射）可以逃離該系統。外力可以改變該系統的動量和能量，但該系統的動量和能量的改變可以維持靜質量不變。當某些反應將組成該系統的某些粒子的靜質量轉換成光能或熱能，只要這些光能或熱能無法從該系統逃離，該系統的靜質量便不會改變。只有在這些能量被釋放到該系統周圍的環境，該系統才會失去靜質量。

相對論質心

狹義相對論並沒有含牛頓質心所有性質的對應，詳見相對論質心。

爭議

根據列夫·奧昆的說法，^[12]愛因斯坦本人一直用m來表示不變質量，而不用m來表示其它任何質量。奧昆和他的跟隨者拒絕相對論性質量的概念。Arnold B. Arons否定教導相對論性質量的概念：^[13]

多年來人們傳統上通過相對論性質量的推導來進入動力學的討論。質量與速度的關係可能在主流課本中仍有提及。然而，最近，越來越多人承認相對論性質量是一個麻煩和令人生疑的概念。[看，例如, Okun (1989) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.]合理和嚴格途徑至相對論動力學是直接發展可以保證在所有參考系中動量守恆的動量：

${\displaystyle p={m_{0}v \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\!}$

而不是通過相對論性質量。

另一方面，T. R. Sandin 寫道：^[14]

相對論性質量的概念為對狹義相對論初學者的教導帶來了一致性和簡單。例如，${\displaystyle E=mc^{2}}$優美地表達了簡化了的能量與質量的等同。那些聲稱不使用相對論性質量的人其實也使用了相對論性質量，即使不是以相對論性質量的名字，當他們在考慮一個由許多粒子組成的系統的時候。相對論性質量並不取決於作用力和速度之間的角度，這意味著它脫離牛頓第二運動定律不正確的使用。

必須注意的是質量和速度的關係例如

${\displaystyle m={m_{0} \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\!}$

蘊含著該速度是相對於一個參考系測量的。

註腳

1. 約瑟夫·湯木生, 关于带电物体的运动造成的效果（On the Effects produced by the Motion of Electrified Bodies）, Phil. Mag., 1881, 11: 229
2. 威廉·維因, Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik, Annalen der Physik, 1900/1901, 5: 501–513 [2008-04-22], （原始內容存檔於2021-03-22） 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
3. Abraham, M., Prinzipien der Dynamik des Elektrons (PDF), Annalen der Physik, 1903, 10: 105–179^{[永久失效連結]}
4. Lorentz, H.A., Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems, Proc. Roy. Soc. Amst., 1899: 427–442 [2008-04-22], （原始內容存檔於2008-12-05）
5. Abraham, M., Prinzipien der Dynamik des Elektrons (PDF), Physikalische Zeitschrift, 1902, 4 (1b): 57–62 [2008-04-22], （原始內容存檔 (PDF)於2021-03-22）
6. 阿爾伯特·愛因斯坦, Zur Elektrodynamik bewegter Körper (PDF), Annalen der Physik, 1905, 17: 891–921 [2008-04-22], （原始內容 (PDF)存檔於2008-02-27） English translation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
7. 阿爾伯特·愛因斯坦., Über eine Methode zur Bestimmung des Verhältnisses der transversalen und longitudinalen Masse des Elektrons (PDF), Annalen der Physik, 1906, 21: 583–586 [2008-04-22], （原始內容 (PDF)存檔於2008-02-29）
8. 阿爾伯特·愛因斯坦, Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig? (PDF), Annalen der Physik, 1905, 18: 639–643 [2008-04-22], （原始內容 (PDF)存檔於2005-01-24） See also the English translation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
9. usenet physics FAQ. [2006-01-15]. （原始內容存檔於2007-06-30）.
10. R. Tolman, 哲學雜誌(Philosophical Magazine) 23, 375 (1912).
11. Tolman, R. C. 相对论、热力学和宇宙学（Relativity, Thermodynamics, and Cosmology）. 牛津（Oxford）: Clarendon Press. 1934. LCCN 340-32023. 再版 (1987) New York: Dover ISBN 978-0-486-65383-9.
12. Lev B. Okun. 质量的概念（The Concept of Mass） (PDF). 今天的物理學（Physics Today）. 1989年7月, 42 (6): 31–36 [2008-04-22]. （原始內容存檔 (PDF)於2008-12-17）.
13. Arnold B. Arons, 初級物理學教育指南（A Guide to Introductory Physics Teaching） (1990, page 263); also in 教導初級物理學（Teaching Introductory Physics） (2001, page 308)
14. T. R. Sandin. 维护相对论性质量（In defense of relativistic mass）. American Journal of Physics. Nov 1991, 59 (11).

相關條目

• 狹義相對論
• 質量
• 質能等價
• 四維動量
• 廣義相對論中的質量

外部連結

• （英文）Usenet物理問答 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  • （英文）質量會隨速度改變嗎？ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  • （英文）光有質量嗎？
• （英文）Gary Oas "On the Abuse and Use of the Relativistic Mass", 2005 arXiv.org:physics/0504110