狄利克雷函數

狄利克雷函數（英語：Dirichlet function）是一個判別自變量是有理數還是無理數的函數。定義在實數範圍上、值域為 ${\displaystyle \{0,1\}}$ 的函數，用 ${\displaystyle D(x)}$ 或者 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$ 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函數是一個處處不連續的可測函數，其圖像關於 ${\displaystyle y}$ 軸成軸對稱，是一個偶函數。它處處不連續、處處極限不存在、不可積分。

在數學領域，這是一個病態函數。作為很多事情的反例，這個函數在任意一點都不存在極限，並且以任意有理數為周期的周期函數（有理數相加得有理數，無理數加有理數還是無理數）。該函數黎曼不可積，而在其它一些積分中是可積的。

定義

在實數域上，狄利克雷函數 ${\displaystyle D(x)}$ 定義為

1. 自變量 ${\displaystyle x}$ 為有理數時，${\displaystyle D(x)=1}$；
2. 自變量 ${\displaystyle x}$ 為無理數時，${\displaystyle D(x)=0}$。^[1]

狄利克雷函數也可以表達為一個連續函數序列的雙重點極限：

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$

其中 ${\displaystyle k}$ 和 ${\displaystyle j}$ 為整數。

性質

• 定義在整個數軸上。
• 無法畫出圖像。
• 以任何正有理數為其周期（從而無最小正周期）。
• 處處無極限、不連續、不可導。
• 在任何有界區間上黎曼不可積。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分，單調收斂定理不成立。
• 是偶函數。
• 它在 ${\displaystyle [0,1]}$ 上勒貝格可積。

證明

處處不連續

• 若 ${\displaystyle y}$ 為有理數則 ${\displaystyle f(y)=1}$。為證明函數在 ${\displaystyle y}$ 處不連續，問題轉化為對任意 ${\displaystyle \varepsilon }$，無論 ${\displaystyle \delta }$ 多麼小，在包含 ${\displaystyle y}$ 的長度為 ${\displaystyle \delta }$ 的區間內一點 ${\displaystyle z}$，${\displaystyle |f(z)-f(y)|\leq \varepsilon }$。試取 ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$，由於無理數為實數域上的稠密集，無論 ${\displaystyle \delta }$ 取何值，總有 ${\displaystyle z}$ 滿足 ${\displaystyle f(z)=0}$，讓 ${\displaystyle |f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2}$。

• 若 ${\displaystyle y}$ 為無理數，同理，因為有理數為實數域上的稠密集，無論 ${\displaystyle \delta }$ 取何值，總有 ${\displaystyle z}$ 滿足 ${\displaystyle f(z)=1}$，讓 ${\displaystyle |f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2}$。

參考資料

1. 同濟大學數學系，「高等數學」第七版 上冊，第九頁 例10